- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл
- •Предисловие
- •Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов
- •1. Понятие определенного интеграла
- •2. Условия интегрируемости функций
- •4. Свойства определенного интеграла
- •5. Вычисление определенного интеграла
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Интегрирование по частям определенного интеграла
- •3. Замена переменной в определенном интеграле
- •Решение задач I типового варианта
- •6. Вычисление несобственных интегралов
- •Решение задач II типового варианта
- •7. Приложение определенных интегралов к задачам геометрии
- •1. Вычисление площадей плоских фигур
- •2. Вычисление объемов тел вращения
- •3. Вычисление длин плоских кривых при различных способах задания линий основные понятия и формулы
- •Решение задачи III типового варианта
- •Решение задачи IV типового варианта
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл
Решение задач I типового варианта
Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.
1. ▲
|
|
|
. ▼
2. ▲
. ▼
3. ▲
,
,
,
|
|
|
. ▼
4. ▲
. ▼
5. ▲
. ▼
6. ▲
. ▼
7. ▲
. ▼
6. Вычисление несобственных интегралов
Определенный интеграл рассматривался при следующих предположениях:
отрезок интегрирования конечен,
подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна.
При таких предположениях этот интеграл называется интегралом в «собственном смысле», ил «собственным» интегралом. В том же случае, когда отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называется интегралом в «несобственном смысле», или «несобственным» интегралом.
I. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода) определяются посредством предельного перехода:
,
,
,
где – произвольное вещественное число.
Замечание. При вычислении несобственных интегралов с бесконечным промежутком интегрирования часто пользуются символическим равенством
,
где .
Если существует определенный конечный предел в правой части, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция в этом случае называется интегрируемой на бесконечном промежутке.
Если же этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся.
Если отыскать первообразную функцию трудно или если она в конечном виде не может быть вычислена, то существуют признаки, позволяющие решить вопрос о сходимости или расходимости несобственного интеграла.
II. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также определяются посредством предельного перехода:
а) Если функция неограниченно возрастает, т. е. , когда , то
;
если функция неограниченно возрастает, т. е. , когда , то
.
б) Если подынтегральная функция перестает быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например , то эту точку «вырезают», а интеграл определяют в предположении, что – первообразная , так
,
где изменяются независимо друг от друга.
Если оба предела в правой части существуют и конечны при не зависящем друг от друга стремлении к нулю, то несобственный интеграл от неограниченной функции называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Задача 6.1. Найти следующие несобственные интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Пояснить решение геометрически.
1) ▲ .
Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.
Геометрически, в прямоугольной системе координат, всякий определенный интеграл дает алгебраическую сумму площадей, ограниченных кривой , двумя вертикальными прямыми и осью .
Поэтому, построив кривую , ее ординаты в точках , получим криволинейную трапецию , площадь которой
.
При получим трапецию с бесконечным основанием, которая имеет конечную площадь .
y
A
1
B
O 1 b x ▼
2) ▲
.
Следовательно, несобственный интеграл сходится.
Геометрически интеграл от функции в пределах выражает площадь криволинейной трапеции , а данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, которая неограниченно простирается влево и вправо и вместе с тем имеет конечную величину .
y
1
A B
a O 1 b x ▼
3) ▲ ,
т. е. несобственный интеграл расходится.
y
A
B
O ε b =1 x
Геометрически полученный результат указывает, что площадь криволинейной трапеции
неограниченно возрастает. ▼
4) ▲
.
Данный несобственный интеграл сходится.
y
P Q
1
A B
ε ε
a O ε 1 η b x
Прямая является вертикальной асимптотой графика подынтегральной функции . Интегралы от этой функции в пределах выражают площади криволинейных трапеций . При эти трапеции неограниченно простираются вверх и вместе с тем имеют конечные площади, сумма которых равна найденному значению данного несобственного сходящегося интеграла. ▼