8. Функція локальної несхильності до ризику

Міра локальної несхильності до ризику в точці визначається за допомогою функції несхильності (до ризику):

(якщо існують відповідні похідні).

Під час дослідження функцій корисності можна спиратись на такі твердження [10]:

1) дві функції корисності є стратегічно еквівалентними тоді і лише тоді, коли вони мають одну й ту саму функцію несхильності до ризику;

2) якщо r(x) > 0 для всіх x  [x_*, x_*], то особа, яка приймає рішення, не схильна до ризику;

3) якщо r(x) = 0 для всіх x  [x_*, x_*], то особа, яка приймає рішення, нейтральна до ризику;

4) якщо r(x) < 0 для всіх x  [x_*, x_*], то особа, яка приймає рішення, є схильною до ризику;

5) якщо для двох суб’єктів, що мають функцію корисності U₁(x) та U₂(x), має місце нерівність r₁(x) > r₂(x), то перший суб’єкт є більшою мірою несхильним до ризику, ніж другий (для даної суми х).

9. Криві байдужості

У теорії ризику цінних паперів широке застосування [15] мають функції корисності виду

де m — величина сподіваного прибутку (ефективності тощо),  — величина ступеня ризику (середньоквадратичне відхилення або семіквадратичне відхилення тощо). Інтерпретація функції U(m, ) така: інвестор вважає за корисне для себе збільшення значення ефективності, але уникає відхилення цієї ефективності від сподіваного значення. Чим більше значення k, тим тенденція уникнення ризику, що породжується невизначеністю, проявляється більшою мірою. А тому величину k можна вважати числовою мірою тенденції інвестора щодо уникнення ризику (мірою несхильності до ризику). Значення величини k є індивідуальним для кожного інвестора, але в принципі його можна оцінити, спостерігаючи, наприклад, за тим, як інвестор ділить свій портфель цінних паперів на ризикову та безризикову частини.

Якщо тепер покласти

U(m, ) = m² – k² = U = const,

то, відкладаючи на осі абсцис значення сподіваної ефективності, а на осі ординат — величину ступеня ризику і надаючи різні значення константі U, отримуємо сімейство кривих (рис.4.6):

m² – k² = U_i , i = 1,2,... .

Це сімейство кривих (в даному випадку гіпербол) в теорії функцій багатьох змінних називають лініями рівня, а в теорії корисності — кривими байдужості. На рис.4.6 побудовано криві байдужості для певної особи (коефіцієнт k — фіксований (k = const)).

Рис. 4.6. Криві байдужості особи (різні рівні функції корисності)

Криві байдужості можна трактувати як різні значення рівнів функції корисності. Наприклад, крива, позначена буквою А, окреслює всі ті можливі величини норми прибутку і ризику, при яких рівень корисності даної особи становить 9 одиниць. Переміщення вздовж цієї кривої буде зберігати один і той самий рівень корисності, який становить 9 одиниць. Одна й та сама величина функції корисності може бути досягнута при великій нормі прибутку і відповідно до більшого ступеня ризику. Тобто, щоб збільшити норму прибутку і водночас залишитися при тій же самій величині корисності, треба обтяжувати себе більшим ступенем ризику.

Нерідко зміни значень норми прибутку і ризику призводять до зміни рівня корисності. Наприклад, зростання норми прибутку при незмінному ступені ризику (рис. 4.6) означає перехід на іншу, «правішу», криву байдужості, що відповідає більшому значенню величини функції корисності. На рис.4.6 цій ситуації відповідає перехід з точки А до точки В. Аналогічно зменшення ступеня ризику при незмінній нормі прибутку означає перехід на криву байдужості, що відповідає більшій величині функції корисності. На рис. 4.6 цій ситуації відповідає перехід з точки А до точки С.

На рис. 4.7 порівнюються криві байдужості виду U(m, ) трьох різних менеджерів (інвесторів) А, В, С у випадку, коли U(m, ) = 4 і відповідно k_а = 1/4, k_в = 1 та k_с = 4. Зауважимо, що серед цих менеджерів особа А характеризується найбільшою схильністю до ризику, а особа С — найменшою (найбільшою несхильністю) до ризику.

Рис. 4.7. Криві байдужості трьох менеджерів (однакові рівні функцій корисності)

Розглянемо точки А, В і С, що лежать на кривих байдужості, які відповідають величині корисності в 4 одиниці. Усім цим точкам відповідає також однакова величина ризику, яка становить 7%. Однак норми прибутку є для цих трьох осіб різними, для А — 4%, для В — 7,3%, для С — 14,1%. Це означає, що при ступені ризику  = 7 менеджер С мусить мати гарантовану (сподівану) норму доходу, яка становить 14,1% (при цьому його корисність становить 4 одиниці). З точки зору менеджера А достатньою є прибутковість, що становить 4%. Менеджер С є найменш схильним до ризику серед цих трьох осіб, бо вимагає більшої компенсації (премії, тобто норми прибутку) за обтяження таким самим ступенем ризику.

Чим більш схильною до ризику є певна особа, тим більший кут нахилу до осі абсцис мають асимптоти кривих байдужості цієї особи (тим більшим є коефіцієнт варіації).

10. Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику.

Рис.4.8.Інтервальна нейтральність (глобальна несхильність) до ризику

Функція корисності з інтервальною нейтральністю відображає ставлення до ризику особи, що приймає рішення, для якої характерна нейтральна позиція щодо ризику за умов, що результат (грошовий дохід, багатство) знаходиться в певних межах. У той же час при розгляді всього інтервалу зміни резуль­тату, корисність якого оцінюється, ставлення до ризику не буде нейтральним [5].

Один із типів функцій з інтервальною нейтральністю до ризику має такий вигляд:

Якщо а_і > 0, то U(x) — зростаюча функція корисності, що характеризує несхильність до ризику, оскільки вона є опуклою вгору (рис. 4.8). Часто U(x) подають у такому вигляді:

де а₁ > а₂ >...> a_n, a b₁ > b₂ >...>b_n; x₁, x₂, ..., x_n–1 — точки перетину графіків функцій a₁x + b₁ та a₂x + b₂, a₂x + b₂ та a₃x + b₃ і т.д. відповідно. Оскільки величина вільного члена функції корисності не змінює її стратегічну еквівалентність, то приймають, що b₁ = 0 (див. рис. 4.8).

На інтервалах [0, x₁], [x₁, x₂], ..., [x_n–1, ) функція буде нейтральною до ризику.

Зростаюча функція з інтервальною нейтральністю, яка відображає глобальну схильність до ризику, має такий вигляд:

де 0 < a₁< a₂<...< a_n; 0 > b₁ > b₂ >...> b_n (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Інтервальна нейтральність (глобальна схильність) до ризику

Можливі конструкції інтервально-нейтральних функцій, які поєднують глобальну схильність та несхильність до ризику (рис.4.10) .

На інтервалах [0, x₁], [x₁, x₂], [x₂, ) функція нейтральна до ризику. На інтервалі [0, x₂] вона відображає схильність до ризику, а на [x₁, ) — несхильність до ризику.

Рис.4.10.Інтервально-нейтральна функція схильності-несхильності до ризику

За допомогою функцій з інтервальною нейтральністю до ризику з будь-якою точністю можна апроксимувати нелінійні функції корисності. Точність апроксимації залежить від вибору точок та кількості інтервалів. Іноді для цього достатньо небагато інтервалів (див. рис. 4.8, де поряд з інтервально-нейтра­льною функцією зображено нелінійну функцію, що апроксимується).

Для зручності інтервали нейтральності до ризику класифікують. Наприклад, інтервал [0, x₁], зображений на рис.4.8, є інтервалом з високою граничною корисністю, [x₁, x₂ ] — з середньою, [x₂,  ) — з низькою.