2. Спецификация модели

В парной регрессии выбор вида аналитической зависимости может быть осуществлен тремя методами:

– графическим (на основе анализа поля корреляции);

– аналитическим (на основе изучения теоретической природы связи между исследуемыми признаками);

– экспериментальным (построение нескольких моделей различного вида с выбором наилучшей, согласно применяемому критерию качества).

Визуальный анализ поля корреляции позволяет определить форму кривой регрессии, ее особенности. Зная типичный вид графиков различных функций, можно подобрать соответствующую аналитическую зависимость.

Примером применения аналитического метода может служить зависимость между затратами (y) и объемом производства (x). Считая, что затраты прямо пропорциональны объему производства, зависимость между ними можно представить в виде линейной функции

y = a + b·x,

где a – часть затрат, не зависящая от объема производства, b – дополнительные затраты на производство единицы продукции.

Разделив обе части последнего уравнения на объем производства x, получим зависимость удельных затрат (z = y/x) на производство единицы продукции от объема производства:

.

Экспериментальный метод построения уравнения регрессии используется при обработке информации на компьютере. При этом перебираются различные математические функции в автоматическом режиме, и среди них выбирается самая качественная. Критерием качества модели может выступаьт либо средняя квадратическая ошибка модели, либо остаточная дисперсия.

;

Чем меньше величина дисперсии, тем в меньшей мере наблюдается влияние прочих не учитываемых в уравнении факторов и тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным. Выбирается та функция, для которой дисперсия является наименьшей. Если дисперсия оказывается примерно одинаковой для нескольких функций, то на практике предпочтение отдается более простым.

При спецификации модели важным также является количество наблюдений. Результаты многих исследований подтверждают, что число наблюдений должно в 6-7 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной х. Это означает, что не имеет смысла искать линейную регрессию на основе менее 7 наблюдений.

Экспериментальный подход легко реализуем при наличии соответствующих вычислительных средств. Но он не является определяющим, так как в эконометрике более важным является не способность модели соответствовать имеющемуся массиву данных, а ее способность раскрывать существующие закономерности в экономических явлениях и процессах и интерпретация полученных с ее помощью результатов.

3. Оценка параметров модели

(слайд 8) 3.1. Оценка параметров линейной парной регрессии

Классический подход к оценке параметров линейной регрессии – метод наименьших квадратов (МНК). При определенных предположениях относительно ошибки ε МНК дает наилучшие оценки параметров a и b.

Согласно МНК, выбираются такие значения параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений при тех же значениях фактора минимальна, т. е. или

Чтобы найти минимум функции, нужно найти частные производные по каждому из параметров и приравнять их к 0:

Отсюда получаем систему уравнений:

Разделим оба уравнения на n:

Из первого уравнения находим значение параметра а:

Подставляем во второе уравнение и находим значение параметра b:

Рассмотрим интерпретацию параметров уравнения линейной регрессии.

Коэффициент b при факторной переменной x называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата y при изменении фактора x на одну единицу.

Знак при коэффициенте регрессии показывает направление связи: при b > 0 связь прямая, при b < 0 связь обратная.

Например, допустим, что зависимость между затратами (тыс. руб.) и объемом выпуска продукции описывается соотношением

y = 35000+0,58·x.

В этом случае увеличение объема выпуска на 1 единицу потребует дополнительных затрат на 580 рублей.

Что касается свободного члена a, формально это значение у при х=0. Если фактор х не может иметь нулевого значения, то трактовка свободного члена не имеет смысла. Параметр a может не иметь экономической интерпретации.

Интерпретировать можно лишь знак при параметре а. Если а > 0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т.е. вариация результата меньше вариации фактора.