Теория Вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами
..pdfА.И.Кибзун, Е.Р.Горяинова, А.В.Наумов, А.Н.Сиротин
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. БАЗОВЫЙ КУРС С ПРИМЕРАМИ И ЗАДАЧАМИ
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 224 с.
Книга предназначена для начального ознакомления с основами теории вероятностей и математической статистики и развития навыков решения практических задач.
Основное внимание уделяется краткости изложения полного курса «Теории вероятностей и математической статистики», состоящего из теоретического и практического материала. Структура изложения максимально приближена к лекционным и практическим занятиям. Пособие может одновременно играть роль учебника, задачника и справочника.
Для преподавателей ВУЗов, инженеров и студентов технических и экономических специальностей.
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Предисловие редактора |
6 |
Предисловие |
7 |
Список основных сокращений и обозначений |
10 |
Глава I. Случайные события |
13 |
§ 1. Основные понятия |
13 |
1.1. Пространство элементарных событий (13). 1.2. Алгебра событий |
|
(14). 1.3. Вероятность события (15). |
|
§ 2. Основные свойства вероятности |
17 |
2.1. Аксиоматические свойства (17). 2.2. Свойства вероятности для |
|
полной группы событий (19). 2.3. Типовые задачи (21). |
|
§ 3. Основные формулы вычисления вероятностей |
30 |
3.1. Формула умножения вероятностей (30). 3.2. Формула сложения |
|
вероятностей (32). 3.3. Формула полной вероятности (33). 3.4. |
|
Формула Байеса (33). 3.5. Формула Бернулли (34). 3.6. Типовые |
|
задачи (35). |
|
§ 4. Задачи для самостоятельного решения |
42 |
Глава II. Случайные величины |
53 |
§ 5. Основные понятия |
53 |
5.1. Функция распределения (53). 5.2. Дискретные случайные |
|
величины (54). 5.3. Непрерывные случайные величины (56). 5.4. |
|
Числовые характеристики случайных величин (58). 5.5. |
|
Характеристическая функция (61). 5.6. Квантиль (62). 5.7. Типовые |
|
задачи (63). |
|
§ 6. Основные дискретные распределения |
68 |
6.1. Биномиальное распределение (68). 6.2. Распределение Бернулли |
|
(70). 6.3. Распределение Пуассона (71). 6.4. Типовые задачи (73). |
|
§ 7. Основные непрерывные распределения |
76 |
7.1. Равномерное распределение (76). 7.2. Экспоненциальное |
|
распределение (78). 7.3. Нормальное распределение (79). 7.4. |
|
Распределение Вейбулла (82). 7.5. Логарифмически нормальное |
|
распределение (83). 7.6. Типовые задачи (84). |
|
§ 8. Задачи для самостоятельного решения |
87 |
Глава III. Случайные векторы |
93 |
§ 9. Двумерные случайные величины |
93 |
9.1. Функция распределения (93). 9.2. Плотность распределения (96). |
|
9.3. Типовые задачи (99). |
|
§ 10. Условные распределения |
105 |
10.1. Условная функция распределения (105). 10.2. Условная |
|
плотность распределения (107). 10.3. Условное математическое |
|
ожидание (109). 10.4. Корреляционная зависимость (111). 10.5. |
|
Двумерное нормальное распределение (113). 10.6. Типовые задачи |
|
(114). |
|
§ 11. Многомерные случайные величины |
119 |
11.1. Основные характеристики многомерных СВ (119). 11.2. |
|
Многомерное нормальное распределение (122). 11.3. Биржевой |
|
парадокс (123). 11.4. Типовые задачи (125). |
|
§ 12. Задачи для самостоятельного решения |
128 |
Глава IV. Случайные последовательности |
132 |
§ 13. Закон больших чисел |
132 |
13.1. Виды сходимости последовательностей СВ (132). 13.2. |
|
Сходимость усредненной суммы независимых СВ (135). 13.3. |
|
Типовые задачи (138). |
|
§ 14. Центральная предельная теорема |
141 |
14.1. Сходимость нормированной суммы независимых СВ (141). 14.2. |
|
Сходимость частоты (144). 14.3. Типовые задачи (146). |
|
§ 15. Задачи для самостоятельного решения |
149 |
Глава V. Математическая статистика |
152 |
§ 16. Основные выборочные характеристики |
152 |
16.1. Основные понятия (152). 16.2. Вариационный ряд (153). 16.3. |
|
Выборочная функция распределения (154). 16.4. Гистограмма (156). |
|
16.5. Выборочные моменты (157). 16.6. Типовые задачи (159). |
|
§ 17. Основные распределения в статистике |
161 |
17.1. Распределение хи-квадрат (161). 17.2. Распределение Стьюдента |
|
(162). 17.3. Распределение Фишера (164). |
|
§ 18. Точечные оценки |
165 |
18.1. Основные понятия (165). 18.2. Метод максимального |
|
правдоподобия (169). 18.3. Метод моментов (172). |
|
§ 19. Интервальные оценки |
173 |
19.1. Основные понятия (173). 19.2. Использование центральной |
|
статистики (174). 19.3. Использование точечной оценки (180). 19.4. |
|
Типовые задачи (182). |
|
§ 20. Проверка статистических гипотез |
183 |
20.1. Основные понятия (183). 20.2. Проверка гипотезы о значении |
|
параметра (185). 20.3. Проверка гипотезы о виде закона распределения |
|
|
(186). 20.4. Проверка гипотезы о независимости двух СВ (188). 20.5. |
|
|
Проверка гипотезы об однородности наблюдений (189). 20.6. Типовые |
|
|
задачи (190). |
|
|
§ 21. Задачи для самостоятельного решения |
|
196 |
Глава VI. Приложения математической статистики |
198 |
|
§ 22. Регрессионный анализ |
|
198 |
22.1. Модели регрессии (198). 22.2. Схема Гаусса-Маркова (199). 22.3. |
|
|
Простая линейная регрессия (201). 22.4. Типовые задачи (204). |
|
|
§ 23. Метод статистических испытаний |
|
205 |
23.1. Основные понятия (205). 23.2. Вычисление вероятности события |
|
|
(205). 23.3. Вычисление определенного интеграла (208). 23.4. Типовые |
|
|
задачи (211). |
|
|
§ 24. Задачи для самостоятельного решения |
|
212 |
Ответы |
|
213 |
Таблицы |
|
216 |
Список литературы |
|
219 |
Предметный указатель |
|
221 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
|
|
Аксиомы теории вероятностей 16 |
Группировка выборки 156 |
|
Алгебра Буля 15 |
Диаграммы Венна 14 |
|
— событий 15 |
Дисперсия выборочная 157 |
|
Биржевой парадокс 124 |
— — несмещенная 158 |
|
Вероятность доверительная 174 |
— случайной величины 59 |
|
— события 16 |
Доверительная область 183 |
|
— — апостериорная 34 |
Доверительный интервал 174 |
|
— — априорная 33 |
— — право (лево) сторонний 174 |
|
— — условная 19 |
— — центральный 174 |
|
Выборка неоднородная 152 |
Закон больших чисел 135 |
|
— однородная 152 |
— — — усиленный 136 |
|
Выборочная дисперсия 157 |
— распределения СВ 53 |
|
— квантиль 154 |
Информация Фишера 167 |
|
Выборочное среднее 157 |
Квантиль 62 |
|
Выборочные начальные и |
— выборочная 154 |
|
центральные моменты 157 |
Ковариация 111 |
|
Гамма-функция 83 |
Коэффициент корреляции 111 |
|
Гипотеза 19 |
— — выборочный 158 |
|
— о виде закона распределения 186 |
Кривая Гаусса 77 |
|
— — значении параметра 185 |
— регрессии 109 |
|
— — независимости 188 |
Кривые Пирсона 161 |
|
— об однородности 189 |
— Стьюдента 163 |
|
— статистическая 183 |
— Фишера 164 |
|
Гистограмма 156 |
Критерий статистический 183 |
|
Группа событий полная 19 |
— хи-квадрат (Пирсона) 186, 188, |
|
189 |
— точечная (выборочная) 165 |
— эффективности 168 |
— эффективная 166 |
Критическая область 183 |
— R-эффективная 168 |
Линия регрессии 204 |
Ошибка 1-го (2-го) рода 184 |
ММ-оценка 172 |
— предсказания |
МНК-оценка 199, 202 |
среднеквадратическая 203 |
МП-оценка 169 |
План эксперимента 198 |
Математическое ожидание СВ 58 |
Плотность распределения |
— — условное 109, 110 |
(вероятности) двумерной СВ 96 |
— — n-мерной СВ 119 |
— — двумерной нормально |
Матрица ковариационная 119 |
распределенной СВ 113 |
— корреляционная 120 |
— — случайной величины 56 |
— ортогональная 175 |
— — условная 107 |
— плана 199 |
— — n-мерной СВ 119 |
— регрессионная 199 |
Полигон частот 157 |
Медиана 62 |
Поправки Шеппарда 188 |
Метод максимального |
Порядковая статистика 153 |
правдоподобия 170 |
— экстремальная 153 |
— моментов 172 |
Правило « k сигм» 82 |
— наименьших квадратов 199, 202 |
Пространство выборочное 152 |
— статистических испытаний |
— элементарных событий 13 |
(Монте-Карло) 205 |
Прямая среднеквадратической |
Многоугольник распределения 55 |
регрессии 204 |
Моменты случайной величины |
Разряд 156 |
начальные 59 |
Распределение Бернулли 70 |
— — — — выборочные 157 |
— Вейбулла 82 |
— — — центральные 59 |
— Коши 163 |
— — — — выборочные 157 |
— Пуассона 71 |
Неравенство Рао-Крамера 168 |
— Стьюдента 162 |
— Чебышева 134 |
— Фишера 164 |
Область доверительная 183 |
— биномиальное 68 |
— критическая 183 |
— логнормальное 83 |
Опыт 13 |
— нормальное (гауссовское) 79 |
— сводящийся к схеме случаев 19 |
— равномерное 76 |
Отклик 198 |
— треугольное (Симпсона) 99 |
Оценка интервальная 174 |
— хи-квадрат 161 |
— максимального правдоподобия |
— экспоненциальное 78 |
169 |
Реализация выборки 152 |
— метода моментов 172 |
— случайной величины 53 |
— — наименьших квадратов 199, 202 |
Регрессия 109 |
— несмещенная 165 |
— параболическая 200 |
— робастная 203 |
— простая линейная 201 |
— состоятельная 166 |
Регрессор 198 |
— — сильно 166 |
Решающее правило 183 |
Ряд вариационный 153 |
— элементарное 13 |
— распределения 54 |
Событий произведение 14 |
— статистический 156 |
— разность 14 |
Свойство счетной аддитивности |
— сумма 14 |
вероятности 32 |
События независимые 30 |
— устойчивости частоты 13, 16 |
— — в совокупности 30 |
Система уравнений метода моментов |
— — попарно 30 |
172 |
— несовместные 14 |
—— — правдоподобия 170 |
— равные 14 |
Случай 19 |
Среднее выборочное 157 |
— благоприятствующий событию 19 |
— значение СВ 58 |
Случайная величина 53 |
— квадратическое отклонение СВ 59 |
— — абсолютно непрерывная 56 |
Статистика 153 |
— — двумерная 93 |
— порядковая 153 |
— — — дискретная 95 |
— — экстремальная 153 |
— — — непрерывная 96 |
— центральная 174 |
— — дискретная 54 |
Статистическая гипотеза 183 |
— — непрерывная 56 |
— — альтернативная 183 |
— — нормальная (гауссовская) 79 |
— — основная 183 |
— — — стандартная 80 |
— — простая 183 |
— — нормированная 59 |
— — сложная 183 |
— — сингулярная 56 |
Статистическая модель 153 |
— — центрированная 59 |
— — параметрическая 153 |
— — n-мерная 119 |
— — — регулярная 167 |
— — — нормально распределенная |
Статистический критерий 183 |
122 |
Схема Бернулли 33 |
Случайная последовательность 135 |
— Гаусса-Маркова 199 |
— — независимых СВ 131 |
Сходимость случайной |
Случайные величины |
последовательности в среднем |
коррелированные 111 |
квадратическом 134 |
— — —отрицательно 112 |
— — — по вероятности 133 |
— — — положительно 112 |
— — — — распределению 132 |
— — независимые 95, 120 |
— — — почти наверное 133 |
— — некоррелированные 111 |
Теорема Бернулли 137 |
— — — попарно 120 |
— Гаусса-Маркова 199 |
Случайный вектор 93 |
— Гливенко-Кантелли 155 |
Событие 13, 16 |
— Колмогорова 137 |
— достоверное 14 |
— Ляпунова 142 |
— невозможное 13 |
— Муавра-Лапласа 144 |
— почти никогда не происходящее |
— — интегральная 145 |
17 |
— — локальная 145 |
— происходящее почти наверное 17 |
— Пуассона 72 |
— противоположное 14 |
— Фишера 176 |
— случайное 13, 16 |
— Чебышева 136 |
— о нормальной корреляции 114 |
Функция Лапласа 80 |
— центральная предельная 141 |
— единичная ступенчатая |
Уровень доверия 174 |
(Хевисайда) 55 |
— значимости 184 |
— правдоподобия 166 |
— надежности 174 |
— — логарифмическая 167 |
Условие Ляпунова 141 |
— распределения |
— независимости 72 |
— — выборочная (эмпирическая) 155 |
— нормировки 55, 56, 95 |
— — двумерной СВ 93 |
— ординарности 72 |
— — случайной величины 53 |
— стационарности 72 |
— — условная 105 |
Условная плотность распределения |
— — n -мерной СВ 119 |
(вероятности) 107 |
— теоретической регрессии 198 |
— функция распределения 105 |
— характеристическая 61 |
Формула Байеса 34 |
Центральная предельная теорема 141 |
— Бернулли 34 |
Частота события 15 |
— классическая вычисления |
— «успехов» 137, 144 |
вероятности 20 |
Число испытаний гарантирующее |
— полного математического |
206 |
ожидания 110 |
— перестановок 23 |
— полной вероятности 33 |
— сочетаний 28 |
— свертки плотностей 98 |
σ-алгебра 16 |
— сложения вероятностей 32 |
|
— умножения вероятностей 30 |
|