Индивидуальное задание 1 по теории вероятности
.docСанкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет
Кафедра высшей математики II
ОТЧЕТ ПО ИНДИВИДУАЛЬНОМУ ЗАДАНИЮ №1 ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
студента группы №2342 Пироговского Владислава
Вариант № 18
Санкт Петербург
-
2004 –
Задача №1
Формулировка:
В электрическую цепь включены параллельно два прибора. Вероятность отказа первого прибора равна 0,1, второго 0,2.
Найти вероятность того, что откажет хотя бы один прибор этой цепи.
Решение:
Элементарные события:
w1=1 работает, 2 работает
w2=1 отказ, 2 работает
w3=1 работает, 2 отказ
w4=1 отказ, 2 отказ
Благоприятствующие элементарные события:
w2, w3, w4
Введем события:
А – отказ 1 прибора
В – отказ 2 прибора
Очевидно, события независимы между собой и совместимы, тогда:
P(A) = 0,1
P(B) = 0,2
P(AB) = P(A)P(B) = 0,02
Таким образом, по теореме сложения
P(AUB) = 0.1+0.2-0.02 = 0.28
ОТВЕТ: вероятность того, что откажет хотя бы один прибор = 0,28.
Задача № 2.
Формулировка:
Если при бросании кости выпадает больше 2-х очков, то вынимают 2 шара из первой урны, содержащей 1 красный и 4 чёрных шара. Иначе два шара берутся из второй урны, содержащей 3 красных и 2 чёрных шара. Вытащили 1 красный и 1 чёрный шар. Какова вероятность, что они взяты из первой урны?
Решение:
Событие А – вытащили красный и черный шары (из 1 или из 2 урны)
гипотеза Н1 – на кости выпало более двух очков Р(Н1)=4/6=2/3
гипотеза Н2 – на кости выпало менее 2 или 2 очка Р(Н2)=2/6=1/3
Гипотезы и событие А удовлетворяют условиям применения формулы полной вероятности, т.к.
-
Н1 и Н2 несовместны
-
Р(Н1)>0 и Р(Н2)>0
-
A ( Н1 U H2
Рассмотрим Р(А/Н1):
Вероятность Р(А/Н1) посчитаем как разность 1-Р(2 черных), т.к. возможно только 2 исхода (либо один красный, другой черный; либо оба черных, т.к. в 1-й урне только один красный шар).
Р(А/Н1)=1-(4/5)(3/4) = 2/5
Рассмотрим Р(А/Н2):
Вероятность Р(А/Н2) посчитаем как разность 1-Р(2 черных)-Р(2 красных).Здесь возможно 3 исхода (либо один красный, другой черный; либо оба черных; либо оба красных).
Р(А/Н2)=1-(2/5)(1/4)-(3/5)(2/4) = 3/5
По формуле Байеса:
= =4/7
Ответ: вероятность, что шары взяты из первой урны 4/7.
Задача № 3.
Формулировка:
Центр наблюдения поддерживает связь с шестью самолетами, выполняющими учебное задание при условии создания противником активных помех. Связь после ее нарушения не восстанавливается. Вероятность потери связи за период выполнения задания 0,2.
Найти вероятность того, что в момент окончания задания центр потеряет связь не более чем с третью самолетов.
Решение:
Событие, о котором идет речь, сводится к тому, что будет поддерживаться связь не менее чем с 4-мя самолётами.
P того, что связь поддерживается с самолётом – 0,8
A(4,6) – событие, состоящее в том, что будет поддерживаться связь не менее чем с 4-мя самолётами из 6.
Его вероятность обозначим через R(4,6).
Тогда по теореме сложения:
R(4,6) = P(4,6)+P(5,6)+P(6,6),
где P(i,6) – ровно с i самолётами связь поддерживается
тогда R(4,6) = C(4,6)*0.84*0.22+C(5,6)*0.85*0.2+0.86=15* 0,4096* 0,04+6* 0,32768*0.2+ 0,262144 = 0.901
Ответ: вероятность того, что в момент окончания задания центр потеряет связь не более чем с третью самолетов = 0.901.