3 Методические рекомендации по выполнению

КОН­ТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Для ответов на теоретические вопросы рекомендуется использовать лите­ратуру, указанную в разделе "Литература" методических рекомендаций, а также любые другие специализированные источники по данным вопросам.

Рекомендации по выполнению задания 1

Для выполнения задания 1 следует изучить принципы перевода чисел в по­зиционных системах счисления.

Позиционной называется система, для которой значимость или вес цифры зависит от ее места расположения в числе. Соотношение между системами вы­ражается таблицей 5.

Таблица 5 – Таблица соответствия систем счисления

Десятичная	Двоичная	Восьмиричная	Шестнадцатиричная
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счис­ления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с послед­него.

Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется ум­ножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет дос­тигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.

Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.

Пример:

Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.

Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с ис­пользованием таблицы соответствия ( таблица 6).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (ше­стнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответ­ствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример: 1010111010,1011 – 1.010.111.010,101.1 –

- 0001=1; 0010=2; 0111=7; 0010=2; 0101=5; 0001=1. – 1272,51

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.

Пример: 1010111010,1011 – 10.1011.1010,1011 –

- 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13; – 2B12,13

Перевод чисел из 2, 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят пу­тем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его по­рядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складыва­ются.

Пример:

Рекомендации по выполнению задания 2

Для выполнения задания 2 необходимо изучить правила перевода чисел в прямой, обратный и дополнительный коды и модифицированные коды.

Прямой код числа кодирует только знаковую информацию и используется для хранения положительных и отрицательных чисел в ЭВМ. Прямой код дво­ичного числа совпадает по изображению с записью самого числа, но в знаковом разряде ставится 0, если число положительное и, 1 если число отрицательное.

Обратный и дополнительный коды используются для выполнения всех арифметических операций через операцию сложения.

Следует помнить, что положительные числа в обратном и дополнительном коде совпадают с прямым кодом.

1) Прямой код числа (кодируется только знаковая информация), “+”=0; ”-”=1.

Для прямого кода возможны два представления нуля, машинный положи­тельный ноль, т.е. +0,110=0,110, машинный отрицательный ноль, т.е. -0,111=1,111.

Пример перевода:

2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических опе­раций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положи­тельного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифро­вые значения меняются на противоположные.

Пример перевода:

3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в до­полнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обрат­ному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по пра­вилу двоичной арифметики.

Пример кодирования:

Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций исполь­зуются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифи­цированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.

Рекомендации по выполнению задания 3

Для выполнения задания 3 следует изучить правила выполнения арифме­тических операций сложения и вычитания машинным методом. Для выполнения операций используются обратный и дополнительный коды, а также модифици­рованные обратный и дополнительный коды.

Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой после­довательность следующих действий:

- преобразование исходных чисел в указанный код;

- поразрядное сложение кодов;

- анализ полученного результата.

При выполнении операции в обратном (модифицированном обратном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает единица пере­носа, она прибавляется к младшему разряду суммы.

При выполнении операции в дополнительном (модифицированном допол­нительном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает еди­ница переноса, она отбрасывается.

Операция вычитания в ЭВМ выполняется через сложение по правилу: Х-У=Х+(-У). Дальнейшие действия выполняются также как и для операции сложе­ния.

Пример:

Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.

Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.

Рекомендации по выполнению задания 4

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью спе­циального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выде­лить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).

Для создания любого логического устройства необходимо определить зави­симость каждой из выходных переменных от действующих входных пере­менных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.

Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2ⁿ её значения, где n – число выходных переменных.

Если определены не все значения, функция называется частично опреде­лённой.

Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.

Для представления функции алгебры логики используется следующие спо­собы:

- словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.

- описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.

Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.

Таблица истинности содержит 2ⁿ строк, где n – число входных перемен­ных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

-описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:

а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма эле­ментарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:

1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функ­ция на выходе = 1.

2) для каждой строки переменных записывается логическое произ­ведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.

3) полученное произведение логически суммируется.

Fднф= ₁*Х₂*Х₃ \/ Х_{1 2}Х₃ \/ Х₁Х_{2 3} \/ Х₁Х₂Х₃

ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.

б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведе­ние элементарных логических сумм.

КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алго­ритму:

1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0

2) для каждого набора переменных записываем элементарную логи­ческую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.

3) логически перемножаются полученные суммы.

Fскнф=(X₁ V X₂ V X₃) /\ (X₁ V X₂ V ₃) /\ (X₁ V ₂ V X₃) /\ ( ₁ V X₂ V X₃)

КНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг.

По алгебраической форме можно построить схему логического устрой­ства, используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Логическую схему, реализующую заданный алгоритм преобразования сиг­налов, мож­но синтезировать непосредственно по выражению, представлен­ному в виде СДНФ или СКНФ. Однако полученная при этом схе­ма, как правило, не оптимальна с точки зрения ее практической реализации. Поэтому исходные ФАЛ обычно минимизируют.

Целью минимизации логической функции является уменьше­ние стоимости ее технической реализации. Следует отметить, что сам критерий, в соответствии с которым выполняется минимиза­ция ФАЛ, далеко не однозначен и зависит как от типа решаемой задачи, так и уровня развития технологии. Так, в те времена, когда цифровые устройства строились на дискретных элементах, минимизация числа этих элементов и числа построенных на их основе элементарных логиче­ских узлов однозначно определяла и уменьшение стоимости технической реали­зации. С появлением БИС и СБИС, стоимость которых определяется в основ­ном пло­щадью схемы на кристалле и мало зависит от числа входящих в нее транзисторов и других элементов, критерии минимизации ФАЛ претерпели су­щественные изменения. На первое место при проектировании самих ИС выдви­гается требование регулярности их внутренней структуры и минимизация числа внешних соеди­нений даже за счет увеличения числа элементов и внутренних со­единений. Эти требования диктуются требованиями повышения надежности электронных средств.

Однако при проектировании аппаратуры с применением БИС и СБИС тре­бование уменьшения числа корпусов ИС и их меж­соединений по-прежнему ос­тается весьма важным.

Требование уменьшения числа элементарных ЛЭ, входящих в разрабаты­ваемое устройство, в настоящее время также не поте­ряло своей актуальности. Объясняется это все более широким ис­пользованием при проектировании элек­тронных средств програм­мируемых логических СБИС широкого применения и полузаказ­ных СБИС на основе базовых матричных кристаллов. Эти СБИС н БИС, как правило, содержат отдельные нескоммутированные между собой эле­ментарные ЛЭ, например 2И—НЕ или 2ИЛИ— НЕ, или просто наборы транзи­сторов, резисторов и диодов, кото­рые могут быть соединены между собой в соответствии с задан­ным алгоритмом обработки логических сигналов. По­скольку чис­ло элементов в одной СБИС задано из технологических сообра­же­ний, то минимизация ФАЛ по критерию уменьшения числа ис­пользуемых эле­ментов позволяет на одном кристалле решать бо­лее сложные задачи логической обработки сигналов. Это снижает стоимость и повышает надежность электрон­ной аппаратуры.

Рассмотрим ряд методов, позволяющих провести минимиза­цию ФАЛ по критерию уменьшения числа элементарных ЛЭ.

Минимизация логического устройства с помощью карт Карно

Полученные алгебраические формы не являются оптимальными с практиче­ской точки их реализации, поэтому данные формы минимизируются.

Минимизацией называют – алгебраическое сокращение числа перемен­ных до тех пор пока это сокращение возможно.

Самым простым графическим способам является способ минимизации с по­мощью карты Карно. Этот способ используется если число входных перемен­ных не превышает 5 и заключается в следующем. Для каждого набора перемен­ных составляется карта или таблица, которая имеет строго определённый вид. Карта или таблица представляет собой набор клеток число которых =2ⁿ; значе­ние в переменных клетках строго определeно.

Структура карт Карно для функций двух, трех и четырех переменных пока­зана ниже.

	x2	0	1
x1
0		f(0,0)	f(0,1)
1		f(1,0)	f(1,1)

x1	x2	f(x1,x2)
0	0	f(0,0)
0	1	f(0,1)
1	0	f(1,0)
1	1	f(1,1)

б)

а)

Рисунок 2- Таблица истинности (а) и структура карты Карно (б) для функции

двух переменных

x1	x2	x3	f(x1,x2,x3)
0	0	0	f(0,0,0)
0	0	1	f(0,0,1)
0	1	0	f(0,1,0)
0	1	1	f(0,1,1)
1	0	0	f(1,0,0)
1	0	1	f(1,0,1)
1	1	0	f(1,1,0)
1	1	1	f(1,1,1)

	x2,x3	00	01	11	10
x1
0		f(0,0,0)	f(0,0,1)	f(0,1,1)	f(0,1,0)
1		f б) (1,0,0)	f(1,0,1)	f(1,1,1)	f(1,1,0)

а)

Рисунок 3-Таблица истинности (а) и структура карты Карно (б) для функции трех

переменных

	x3,х4	00	01	11	10
x1,х2
00		f(0,0,0,0)	f(0,0,0,1)	f(0,0,1,1)	f(0,0,1,0)
01		f(0,1,0,0)	f(0,1,0,1)	f(0,1,1,1)	f(0,1,1,0)
11		f(1,1,0,0)	f(1,1,0,1)	f(1,1,1,1)	f(1,1,1,0)
10		f(1,0,0,0)	f(1,0,0,1)	f(1,0,1,1)	f(1,0,1,0)

Рисунок 4-Cтруктура карты Карно для функции четырех переменных.

Карта размечается системой координат, соответствующих значениям вход­ных переменных. Например, верхняя строка карты для функции от трех перемен­ных соответствует нулевому значению переменной х1, а нижняя – ее единичному значению. Каждый столбец этой карты характеризуется значениями двух пере­менных: х2 и х3.

Обратим внимание на то, что координаты строк и столбцов следуют не в ес­тественном порядке возрастания двоичных кодов, а в порядке 00, 01, 11, 10. Это код Грея. Изменение порядка следования наборов сделано для того, чтобы со­седние наборы (отличающиеся между собой лишь цифрой одного разряда) были соседними в геометрическом смысле.

Ячейки, в которых функция принимает единичное значение, заполняются единицами. В остальные ячейки записываются нули. Процесс минимизации ис­пользует закон склеивания и заключается в формировании прямоугольников, со­держащих по ячеек, где k – целое число. В прямоугольники объединяются со­седние ячейки, соответствующие соседним элементарным произведениям. Те пе­ременные, которые в прямоугольнике изменяют свои значения, исчезают.

Совокупность прямоугольников, покрывающих все единицы, называется покрытием. Заметим, что одна и та же ячейка может покрываться несколько раз.

Рассмотрим несколько примеров.

Ч

в)

ем больше ячеек в прямоугольнике, тем меньше переменных содержится в соответствующем ему элементарном произведении. Например, для карты Карно, изображенной на рисунке 2а, прямоугольнику, содержащему четыре ячейки, со­ответствует произведение , а квадрату из одной ячейки – произведение . Функция Q, соответствующая этому покрытию, имеет вид:

Q=  .

Формула, получающаяся в результате минимизации логической функции с помощью карт Карно, содержит сумму стольких элементарных произведений, сколько произведений имеется в покрытий.

б)

	x3,х4	00	01	11	10
х1,х2
00		0	1	0	0
01		0	1	0	1
11		0	1	0	0
1 а) 0		0	1	0	0

	x3,х4	00	01	11	10110
x1,х2
00		0	0	1	0
01		1	0	0	1
11		1	0	0	1
10		0	0	1	0

	x3,х4	00	01	11	10
x1,х2
00		1	0	0	1
01		0	0	0	0
11		0	0	0	0
10		1	0	0	1

в)

Рисунок 5– Примеры реализации карт Карно для функций четырех

переменных

Несмотря на то, что карты Карно изображаются на плоскости, соседство ячеек устанавливается на поверхности тора. Верхняя и нижняя границы карты Карно как бы «склеиваются», образуя поверхность цилиндра. При склеивании боковых границ образуется тороидальная поверхность. Так ячейки с координа­тами 1011 и 0011 являются соседними (рисунок 5б) и объединяются в один пря­моугольник. Действительно, указанным ячейкам соответствует следующая сумма элементарных произведений:

.

Аналогично объединяются и остальные четыре единичные ячейки. В ре­зультате их объединения получаем элементарное произведение . Оконча­тельно функция P, соответствующая покрытию, изображенному на рисунке 5б, имеет вид:

Карта Карно, показанная на рисунке в, содержит единичные ячейки по уг­лам. Все они являются соседними и после объединения дадут элементарное про­изведение .

Рассмотренные примеры позволяют сформулировать последовательность действий, выполненных для минимизации логических функций с использованием карт Карно:

Изображается таблица для n переменных и производится разметка ее сторон.

Ячейки таблицы, соответствующие наборам переменных, обращающих функцию в единицу, заполняются единицами, остальные – нулями.

Выбирается наилучшее покрытие таблицы прямоугольниками. Наилучшим считается такое покрытие, которое образовано минимальным числом прямо­угольников, а если таких вариантов несколько, то из них выбирается тот, кото­рый дает максимальную суммарную площадь прямоугольников.

ЛИТЕРАТУРА

1 Галкин В. И., Пелевин Е. В. Промышленная электроника и микроэлектроника – Мн: Беларусь,2000.

2ДунаевС.Д. Электроника, микроэлектроника и автоматика:Учебник для тех­никумов и колледжей ж.-д. транспорта,- М.:Маршрут.2003.

3 Калабеков Б.А. Цифровые устройства и микропроцессорные системы: Учебник для техникумов связи. – М.:Горячая линия- Телеком,2002.

4 Келим Ю.М. Электромеханические и магнитные элементы системы автоматики – М.: Высшая школа,1983.

5 Королев Г.В. Электронные устройства автоматики.-М.:Высшая школа,1991.

6 Левшина Е.С., Новицкий П.В. Измерительные преобразователи.-Ленинград: Энергоатомиздат,1983.

7 Мышляева И.М. Цифровая схемотехника: Учебник для сред. проф. образовани /Ирина Михайловна Мышляева.- М.:Издательский центр “Академия”, 2005.

8 Нешумова К.А. ЭВМ и системы.-М.: Высшая школа, 1989.

9 Опадчий Ю. Ф.: Аналоговая и цифровая электроника. – М: Горячая линия Теле­ком, 2000.

10 Русак И.М.. Луговский В.П. Технические средства ПЭВМ.-Мн.: Вышэйшая школа, 1996.

11Семененко В..А. Электронные вычислительные машины.М.:Высшая школа, 1991.

12Соломенчук В.Г.Аппаратные средства персональных компьютеров. – СПб:БХВ-Петербург,2003.

13 Средства автоматики и телемеханики /Н.И.Бохан,И.Ф.Бородин, Ю.В.Дробышев и др. М.:Агропромиздат,1992.

14 Стрыгин В.В., Щарев Л.С. Основы вычислительной, микропроцессорной тех­ники и программирования.-М.: Высшая школа, 1989.

43