27. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.

Пусть A - линейный оператор , действующий в линейном пространстве X. Число называется значением, а ненулевой вектор X-соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы: 1)Все собственные числа симметрической матрицы действительные. Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Найдем дискриминант:

следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

2)       Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для n = 2). Координаты собственных векторов и должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

.

Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (10.2)

получим, что

Подставим эти соотношения в предыдущее равенство

Значит, .

29.Эквивалентность двух определений сходимости последовательности в r n .

Последовательностью точек М₁,...,Мk,…… в Rⁿ называется отображение множества натуральных чисел N в Rⁿ.

(1) Первое определение сходимости. Говорят, что М есть предел последователыюстя Rⁿ (пишут: M= lim M_k,) (к→∞), если для всякого ε > 0 существует число N в N(ε), такое, что М_k € Ш_b(M) для всех к > N

(2) Второе определение cходимости. Говорят, что М есть предел последовательности М_к (пишут М= lim M_k, )(к→∞), если для всякого ε > 0 существует число N = N(ε) такое, что М € K_b (М)для всех к > N.

Теорема Определения сходимости (1) ■ (2) эквивалентны.

Если последователыность сходится в смысле (1), то для всякого ε > 0 существует число N= N(ε) такое, что M_k € Ш_b(M) для всех к >N. Но Ш_b(х°) входитK_b.(х°), поэтому М_к К(М), следовательно последов-ь сходится в смысле (2).

Обратно, если последовательность сходится в смысле (2), то для всакого ε > 0 существует число N = N(ε), такое что M_k € K_b (M) для всех k > N. Но К_b (х°) входит Ш_b√n (x°), поэтому М_к € Ш_b√n (М) , следовательно послел-ь сходится в смысле (1).

30.Теорема Больцано-Вейршстраса о выборе сходящейся подпоследовательности.

Последовательность называется ограниченной, если существует куб (шар), содержащий все ее элементы. Теорема (Больцамо-Вейерштрасса) Из всякой ограниченной последовательности в R" можно выбрать сходящуюся подпоследовательность,

Пусть последовательность ограничена и все ее элементы лежат в некотором кубе. Можно считать, что это куб с центром в начале координат. Выберем произвольный элемент последовательности. Разобьем этот куб на 2ⁿ ку6ов так, как его делят .координаты гиперплоскости. В одном из этих кубов содержится бесконечное число элементов последовательности (так как их общее число бесконечно, а количество кубов разбиения конечно). Выберем этот куб, выберем в кем произвольный элемент последовательности, отличный от предыдущего выбранного, разобьем тот куб также, как раньше, выберем тот, который содержит бесконечное число элементов последовательности. Выберем в этом кубе произвольный элемент отличный от всех ранее выбранных в так далее. Получим последовательность вложенных кубов, размер которых стремится к 0. Тогда все они имеют общую точку М (так как в проекция на каждую ось имеем последовательность итоженных отрезков, длина которых стремится к 0, они имеют общую точку; эта точка — соответствующая координата обшей точки ку6ов). Тогда выбранная последовательность сходится к М, так как какое бы ε мы не взяли, существует куб меньшего размера, содержащий соответствующий элемент последовательности и все последующие.