Задачи по теме «Линейная алгебра»
Найти матрицу , если
1). 2
2).
3).
4).
Найти и , если эти произведения существуют:
-
1).
4).
2).
5).
3).
6).
3. Найти
а) б)
4. Найти и
а)
б)
5. Найти
а) б) в)
6. Найти значение матричного многочлена если
а) ;
б)
в)
г)
д)
e)
7. Вычислить определители:
-
1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
9).
10).
11).
12).
13).
-
14).
15).
16).
17).
18).
8. Найти и сделать проверку, если существует:
-
1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
9).
Решить системы линейных алгебраических уравнений а) методом Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса:
1).
2).
3).
4).
5).
6).
7).
8).
9).
Найти решение системы
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
и) к)
Даны точки: . При каких значениях и векторы и равны?
Найти вектор из уравнения , если , , .
Заданы пары векторов: 1). и ; 2). и ; 3). и ; 4). и ; 5). и ; 6). и ; 7). и . Среди этих пар укажите те, которые удовлетворяют следующим условиям: а) и коллинеарные; б) длина вектора равна , длина вектора равна ; в) скалярное произведение векторов и равно 5; г) косинус угла между векторами и равен ; д) угол между векторами и равен ; е) векторы и сонаправлены; ж) векторы и ортогональны.
Даны два вектора . Проверить, что векторы и коллинеарные. Установить, во сколько раз один длиннее второго и как они направлены – в одну сторону или в противоположные стороны.
Даны точки , , и . Проверить, что векторы и коллинеарные. Установить, во сколько раз один длиннее второго.
Даны векторы и , где , , — базис. При каких значениях и векторы и коллинеарные?
Дано разложение вектора по базису . Разложить вектор по этому базису, если эти векторы коллинеарные и противоположно направлены, а .
Вычислить скалярное произведение :
1).
2).
3).
4).
Найти косинус угла между векторами и
-
1).
2).
3).
4).
5).
6).
Найти единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора
1).
2).
3).
Найти единичный вектор, направленный противоположно вектору 1) 2)
На векторах 1) и 2) Построен параллелограмм. Записать векторы, направленные вдоль его диагоналей.
Являются ли коллинеарными векторы и заданные координатами в некотором базисе:
1).
2).
3).
4).
Являются ли ортогональными векторы и заданные координатами в некотором базисе:
1).
2).
3).
4).
Даны точки . Определить длину вектора .
Даны векторы и . Найти и .
Даны векторы: а) б) Определить длины векторов и косинус угла между ними.
Даны векторы: При каком значении косинус угла между ними будет равен 5/12?
Даны точки . Найти скалярное произведение и .
Даны векторы и в базисе , , . При каком значении они ортогональны?
Даны вершины четырехугольника A(1;-2;2), B(1;4;0), C(-4;1;1), D(-5;-5;3). Доказать, что диагонали взаимно перпендикулярны.
Даны точки А1(0;1;2), А2(1;2;4), B1(-1;-1;3), B2(1;0;0). Найти координаты вектора и , если точки M1 и M2 –середины отрезков A1 B1 A2 B2 соответственно.
Даны точки A(-1;2;3), B(-1;3;1), C(-1;7;3), D(-1;6;5). Доказать, что ABCD – прямоугольник.
Дан треугольник с вершинами . Найти векторы, совпадающие с его сторонами и вычислить его периметр.
Проверить, будет ли треугольник с вершинами A(6;-4;2), B(3;2;3), C(3;-5;-1) прямоугольным?
Даны точки A(-3;-2;0), B(3;3;1), C(5;0;2). Во сколько раз больше (меньше) ?
На векторах и построен треугольник. Доказать, что треугольник прямоугольный и найти его площадь.
При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны?
Дан вектор . Найти координаты вектора , лежащего в плоскости Oxy , если и векторы и перпендикулярны.
Даны векторы . При каких значениях векторы и перпендикулярны?
Даны точки M(1;1;4), N(1;4;4), K(3;3;2). Доказать, что векторы и перпендикулярны, если точка O – середина отрезка MK.
Найти угол между векторами и , если A(3;3;-2), B(0;-3;4), C(0;-3;0), D(0;2;-4).
На векторах и построен параллелограмм. Вычислить длины его диагоналей.
Определить длины сторон параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и .
Образует ли система векторов ортогональный базис? Если да, то постройте по этому ортонормированному, базису соответствующий ортогональный базис а) (1;1;0;-1;-1), (1;0;-1;0;1), (1;-1;2;-1;1), (1;-1;0;1;-1). б) (1;3;2;3;1), (1;1;0;-1;-1), (1;0;-1;0;1), (1;-1;2;-1;1), (1;-1;0;1;-1).
Даны три вектора: 1) 2) Разложить вектор по векторам и .
Даны векторы и . Доказать, что они образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе, если 1) , где - базис, , 2) , где - базис, .
Проверить наличие линейной зависимости системы векторов в пространстве R2.
-
1).
2).
3).
50. Определить ранг следующих матриц:
51. Какие из указанных векторов являются собственными векторами матрицы А?
-
а)
б)
в)