Ряд Котельникова и функция отчетов.
Переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента может быть выполнен путем взятия отсчетов функции в определенные (дискретные) моменты времени. В результате дискретизации исходная непрерывная по аргументу функция заменяется совокупностью ее мгновенных значений. Полученная последовательность узких импульсов называется гребенчатой или решетчатой функцией. По ее значениям можно восстановить исходную функцию с некоторой погрешностью.
Котельников доказал, что сложный непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:
где
- нормированная функция отсчетов
(максимальная амплитуда равна 1; момент
существования k -ого отсчета сигнала
t*=k∆T). ∆T - шаг дискретизации; ωM - круговая
частота высшей гармоники спектра сигнала
(самой высокочастотной); k - номер
очередного отсчета сигнала (номер узкого
импульса); t - текущее время.
Данное преобразование - ряд Котельникова,
позволяет точно отображать сложный
непрерывный сигнал последовательностью
бесконечно узких импульсов, следующих
с равным интервалом (шагом дискретизации),
величина которого определяется в виде
,
где fm - частота и Tmin - период высшей гармоники спектра сигнала.
Сигнал, представленный рядом Котельникова должен удовлетворять следующим условиям:
1)является однозначным (одному знач. аргумента соответствует одно значение функции); 2)ограничен по амплитуде;
3)кусочно-непрерывный;
4)имеет конечное число экстремумов на интервале определения;
5)спектр ограничен сверху частотой высшей гармоники ωM.
В ряду Котельникова под знаком расположено множество деформированных функций отсчета. Математическое высказывание ряда Котельникова представляет исходную непрерывную функцию в любой момент времени t - как суперпозицию множества деформированных функций отсчетов.