![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Операции с векторами и их свойства
Суммой
векторов
и
называется
вектор
Для любых векторов
справедливы равенства
|
|
Теорема 11.6.
Каковы
бы ни были три точки A,
B и C,
имеет место векторное равенство
Доказательство
Пусть A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) – данные точки. Вектор
имеет
координаты
Замечание.
Теорема 11.6 дает следующий способ
построения суммы произвольных векторов
и
|
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
|
Рисунок 11.2.3. Правило параллелограмма |
Разностью
векторов
и
называется
такой вектор
который
в сумме с вектором
дает
вектор
откуда c1 = a1– b1;
c2 = a2– b2.
Произведением
вектора
на
число λ называется
вектор
т. е.
Для любого вектора и чисел λ и μ
Для любых двух векторов и и числа λ
|
Теорема 11.7.
Абсолютная
величина вектора
равна
|λ || a|.
Направление вектора
при
совпадает
с направлением вектора
если
λ > 0, и противоположно направлению
вектора
если
λ < 0.
Доказательство
Построим
векторы
Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы и одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы и противоположно направлены. Абсолютная
величина вектора
равна
|
Теорема 11.8.
Для
любых отличных от нуля коллинеарных
векторов
и
существует
такое число λ, что
Доказательство
Пусть
и
одинаково
направлены. Векторы
и
|
Теорема 11.9.
Пусть
и
–
отличные от нуля неколлинеарные векторы.
Любой вектор
можно
единственным образом представить в
виде
Доказательство
Пусть
A и B
– начало и конец вектора
Для
доказательства единственности
представления допустим, что в условиях
теоремы такое представление не
единственно. То есть наряду с числами
λ и μ такими, что
|
Скалярное произведение векторов.
Скалярным
произведением векторов
и
называется
число
Скалярное
произведение векторов
и
обозначется
Для
любых векторов
и
верно:
Теорема 11.10.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Доказательство
Пусть и – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:
или
Скалярное
произведение
|
Единичные
векторы
и
имеющие
направления положительных координатных
полуосей, называются координатными
векторами или ортами.
Теорема 11.11.
Любой
ненулевой вектор
единственным
образом можно разложить по координатным
векторам, то есть записать в виде
Доказательство
Так
как координатные векторы отличны от
нуля и неколлинеарны, то любой вектор
допускает
разложение по этим векторам в силу
теоремы 11.9
|
Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Пусть
и
–
некоторый базис и
–
произвольный вектор, тогда по теореме
11.9 и следствию 11.1 существуют два
единственным образом определенных
числа x и y, такие, что
|
Числа
x и y называются координатами
вектора
в
данном базисе. В этом случае также пишут
Справедливы следующие свойства.
Теорема 11.12.
При умножении вектора на число все его координаты в данном базисе умножаются на это число.
При сложении двух или больше векторов их соответственные координаты складываются.
Доказательство
Пусть
|
Пусть
на плоскости заданы точка O и произвольный
базис
Совокупность этого базиса и точки O
называется декартовой системой
координат
Точка O называется началом координат.
Если через эту точку O провести прямые
в направлениях, заданных базисными
векторами
и
то
полученные прямые называются осями
координат: прямая OX – осью абсцисс,
прямая Oy – осью ординат. Координаты
радиус-вектора точки M называются
координатами этой точки в данной системе
координат (x – абцисса, y – ордината).
|
Рисунок 11.3.1 |
Если
и
взаимно
перпендикулярны и их модули равны
единице, то базис называется
ортонормированным, и мы получим известную
нам прямоугольную декартову
систему координат на плоскости. Таким
образом, рассмотренная здесь декартова
система координат
является
обобщением рассмотренной ранее
прямоугольной декартовой системы
координат, которая в свою очередь
является частным случаем общей декартовой
системы координат.
Мы
видели (теорема 11.12), что свойства сложения
и умножения вектора на число, записанные
через координаты вектора, в произвольном
базисе сохраняются. Рассмотрим, как
изменится выражение для скалярного
произведения, записанное через их
координаты в произвольном базисе. Итак,
пусть
–
произвольный базис,
и
–
любые два вектора. Рассмотрим скалярное
произведение этих векторов и преобразуем
его, используя ранее доказанные свойства:
|
Таким
образом, для вычисления скалярного
произведения двух векторов в произвольном
базисе, кроме их координат, надо знать
модули базисных векторов и угол между
ними. Очевидно, что если базис
ортонормирован, то
и
мы получим известную формулу для
скалярного произведения в ортогональной
декартовой системе координат.
Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства (см., например, доказательство теоремы 11.10). Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатах. Одна и та же точка в различных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, прямая, окружность) в разных системах координат задается различными уравнениями. Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой. Ограничимся случаем ортогональных систем.
Пусть
на плоскости заданы две прямоугольные
системы координат:
и
(см.
рис. 11.3.2).
|
Рисунок 11.3.2 |
Первую
систему с началом в точке O и базисными
векторами
и
назовем
старой, вторую, с началом в точке O' и
базисными векторами
и
–
новой. Положение новой системы относительно
старой будем считать известным: пусть
точка O' в старой системе имеет координаты
а
вектор
образует
с вектором
угол
α, который отсчитывается в направлении
против движения часовой стрелки от
направления, задаваемого вектором
Рассмотрим произвольную точку M. Обозначим ее координаты в старой системе через (x, y), в новой – через (x', y'). Установим связь между старыми и новыми координатами точки M. Из рис. 11.3.2 по правилу треугольника имеем
|
Разложим
векторы
и
по
базису
а
вектор
–
по базису
|
Равенство перепишется в виде:
|
Новые
базисные векторы
и
можно
разложить по старым базисным векторам
следующим
образом:
|
Подставив найденные выражения для и в формулу, получим векторное равенство
|
равносильное двум числовым равенствам:
|
Эти формулы дают искомое выражение для старых координат через новые координаты x' и y'. Для того чтобы найти выражение для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнений относительно неизвестных x' и y'.
Если меняется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах α = 0, получаем
|
Эти формулы кратко называют формулами переноса.
Если начало координат остается прежним, а оси поворачиваются на угол α, то, полагая в формулах a = b = 0, получим
|
Эти формулы называются формулами поворота.