- •Раздел 9
- •Функции двух переменных
- •Основные понятия функции двух переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Дифференцирование фнп
- •2.1. Частные производные фнп
- •2.2. Частные производные высших порядков
- •2.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •2.4. Производная сложной функции. Полная производная
- •2.5. Дифференцирование неявной функции
- •Исследование фнп
- •3.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •3.2. Экстремум функции двух переменных
- •Основные понятия скалярного поля
- •4.1. Скалярное поле
- •4.2. Производная по направлению
- •4.3. Градиент
Основные понятия скалярного поля
4.1. Скалярное поле
Предположим, что в каждой точке некоторой области задано значение скалярной физической величины , т.е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, потенциал электрического поля и т.д. При этом называется скалярной функцией точки, записывается это так . Область , в которой определена функция , может совпадать со всем пространством, а может являться некоторой его частью.
Определение 4.1. Если в области задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.
Будем считать, что скалярное поле стационарное, т.е. величина не зависит от времени .
Если физическая величина векторная, то ей будет соответствовать векторное поле, например, силовое поле, электрическое поле напряженности, магнитное поле и др.
Если скалярное поле отнесено к системе координат , то задание точки равносильно заданию ее координат , и тогда функция можно записать в обычном виде функции трех переменных: .
Рассмотрим точки области , в которых функция имеет постоянное значение , т.е. . Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. Если возьмем другое значение , то получим другую поверхность. Эти поверхности называются поверхностями уровня.
Определение 4.2. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е.
.
В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (т.е. поверхности равного потенциала).
Если скалярное поле плоское, т.е. изучается распределение значений величины в какой-то плоской области, то функция зависит от двух переменных, например, и . Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции , т.е. .
В прикладных науках часто употребляются линии уровня для представления изучаемой функции двух независимых переменных. Так, например, рассматривая высоту точки местности над уровнем моря как функцию двух переменных – координат точки, на карты наносят линии уровня этой функции. Они называются в топологии горизонталями. С помощью сети горизонталей удобно следить за изменением высоты местности. В метеорологии пользуются сетями изотерм и изобар (линий одинаковых средних температур и линий равных средних давлений), являющимися линиями уровня температуры и давления как функции координат точки местности.
Пример 4.1. Построить в плоскости линии уровня функции .
4.2. Производная по направлению
Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.
Пусть задано скалярное поле, т.е. задана функция , и точка . Будем предполагать, что функция непрерывна и имеет непрерывные производные по своим аргументам в области .
Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала, рассмотрим точку . Тогда .
.
Учитывая, что , то полученное равенство будет иметь следующий вид:
.
Перейдем к пределу при .
Определение 4.3. Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е.
.
Итак, если функция дифференцируемая, то производная от функции в точке по направлению вектора находится по следующей формуле:
, (4.1)
где направляющие косинусы вектора .
В случае функции двух переменных , т.е. когда поле плоское, формула (4.1) примет следующий вид:
, (4.2)
где .
Подобно тому, как частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции в точке по направлению вектора .