41

Государственный институт экономики, финансов, права и технологий

Кафедра информационных технологий и высшей математики

Лабораторная работа

по дисциплине: «Общая теория систем»

на тему: «ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ»

Гатчина

2012

1. Цель, назначение и содержание лабораторной работы

Основные положения теории систем позволяют обобщить систематизировать предметные знания о системах в единое целое. На основе данных знаний формулируются основные законы, категории и свойства, характеризующие поведение систем. Это дает возможность целенаправленного конструирования эффективных систем в той или практической области. Одним из наиболее эффективных способов изучения создаваемых систем является их математическое моделирование.

Целью выполнения лабораторной работы является исследование динамических свойств различных типовых звеньев (элементов) систем и их соединений с использованием их математических моделей.

Назначение данной работы состоит в получении практических навыков оценки динамических свойств отдельных исходных элементов системы, а затем оценка динамики поведения системы, построенной из этих элементов.

Содержанием работы является расчет и построение переходных процессов в заданных элементах изучаемых систем, а затем в системах из этих элементов с использованием табличного редактора Excel.

II. Основные теоретические положения

2.1. Общие положения

Теория систем занимается фундаментальными понятиями и аспектами систем. Она предназначена для решения сложных, иерархических проблем, которые можно описать математической теорией систем. Любую систему можно описать либо как некое преобразование входных воздействий (стимулов) на выходные параметры (реакция) с учетом причинно-следственного принципа, в рамках кибернетического подхода, либо с позиции достижения системой какой-либо цели или выполнения какой- либо функции с учетом принципа целенаправленности, в рамках структурно-функционального подхода.

В теории систем сформулированы основные закономерности структурно-функционального анализа и синтеза в качестве определяющего принцип системного исследования. Согласно этому принципу: все свойства, характеристики объекта-системы можно математически предста­вить как функции, аргументами которых являются свойства его элементов и структуры. Закономерности соединения (композиции) элементов в целую систему могут быть выражены с помощью уравнений связи и движения, т. е. дифференциаль­ных, интегральных, алгебраических уравнений или в виде графов, матриц, графиков. Границы и условия применимости тех или иных уравнений или других средств описания, выражающих собой модели структур данной системы, косвенно отражают влияние внеш­них условий, которые при том же составе элементов системы реализуют вполне определенные структуры их связей, их свойст­ва и функции на выходах системы.

Отображение структуры и организации объекта-системы вы­ступает главной, интегральной характеристикой содержания знания об объекте, позволяющей рассчитывать и предсказывать интегральные свойства системы, осуществлять ее синтез с зара­нее заданными свойствами, функциями и показателями опти­мальности, а также объяснять свойства и поведение системы на основе знания ее механизмов, статических и динамических структур и программ поведения. Структурное описание играет определяющую роль при системном анализе систем разной природы.

2.2. Использование передаточных функций для отражения динамических свойств элементов системы

Сложную экономическую систему, используя метод последовательной декомпозиции, можно представить в виде совокупности простых элементов, соединенных между собой прямыми и обратными связями. Динамика поведения каждого элемента описывается различного вида дифференциальными уравнениями. Для описания динамики элементов с сосредоточенными параметрами используются линейные дифференциальные уравнения в полных производных.

Нахождение параметров отдельных элементов системы существенно проще, чем в целом исследуемой системы. При известном виде уравнений элементов и их параметров можно синтезировать любую сложную систему.

С целью упрощения методов расчета и анализа поведения экономических систем уравнения динамики элементов системы целесообразно записывать не через оригиналы функций, а в виде изображений функций, получаемых с помощью прямого преобразования Лапласа.

Если оригинал x(t) представляет собой функцию времени t, то изображение этой функции X(p) является функцией комплексной переменной p и задается с помощью интеграла вида:

(2.1)

В этом случае, если оригинал функции представляет собой интегро-дифференциальное уравнение вида:

, (2.2)

то ее изображение имеет вид:

(2.3)

В справочниках по математике приводятся основные операции с оригиналами и соответствующие им операции с изображениями. Например, операциям дифференцирования и интегрирования оригиналов функций соответствуют операции умножения и деления на величину комплексной переменной p изображений функций.

Если произвести деление изображения выходной функции на входную функцию, то получим так называемую передаточную функцию. Для выражения (2.3) она имеет вид:

. (2.4)

Для унификации используемых простейших динамических элементов системы вводится понятие типовых динамических звеньев. К таким звеньям относят: пропорциональные, устойчивые и неустойчивые апериодические, устойчивые и неустойчивые колебательные, интегрирующие, дифференцирующие, чистого запаздывания и нелинейные звенья.

При поступлении на вход этих динамических звеньев показателей, изменяющихся по одному типовому закону, на выходе данных звеньев получим выходные показатели, закономерность изменения которых будет отражать динамические свойства этих звеньев. Это позволяет сравнивать отдельные звенья между собой с точки зрения их динамических свойств, а зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины.

Е сли на вход звена поступает показатель, изменение величины которого можно описать функцией вида:

0 при t ≤ 0

x(t) = , (2.5)

1 при t > 0

то при нулевых начальных условиях системы, реакция на выходе системы будет называться переходной функцией (или переходной характеристикой), которую обычно обозначают как y(t) = h(t). Функцию (2.5) обычно называют типовой единичной функцией.

Рассмотрим вид дифференциальных уравнений, передаточных функций и графики переходных процессов на выходе типовых звеньев при типовых входных воздействиях на них и особенности поведения при этом звеньев.