Спектральное представление непериодических функций — интегральное преобразование Фурье. Представление непериодических функций времени с помощью интеграла Фурье

Наряду с рассмотренными ранее классическим и операторным методами анализа переходных процессов может быть применен метод, в котором используются выражения токов и напряжений, являющихся функциями времени, с помощью интеграла Фурье. Сущность этого метода заключается в представлении непериодических функций в виде суммы бесконечного множества синусоидальных функций с бесконечно малыми амплитудами и с частотами, имеющими все возможные значения от –Ґ до +Ґ. Соответственно, этот метод может быть назван методом частотных характеристик или, короче, частотным методом. Как будет видно из дальнейшего, такое разложение непериодических функций имеет много общего с разложением периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье. Смысл такого разложения, по сути дела, тот же, что и при анализе процессов в линейных цепях, находящихся под действием периодического несинусоидального напряжения. Осуществляя такое разложение непериодического напряжения на синусоидальные составляющие, получаем возможность, пользуясь хорошо известными приемами расчета токов в цепи при синусоидальных напряжениях, найти токи в цепи от действия отдельных составляющих напряжения, а затем получить результирующий ток, пользуясь методом наложения.

    (*)

Два последних выражения можно рассматривать как взаимно обратные преобразования, устанавливающие соответствие между f(t) и F (jqw₁). Функция F (jqw₁) представляет собой дискретный спектр функции f(t).

Предположим теперь, что f(t) — непериодическая функция. Чтобы получить ее выражение, пригодное для любого значения t, на основании выражений (*) будем рассматривать данную непериодическую функцию f(t) как периодическую с бесконечно большим периодом.

При беспредельном возрастании T разность w = 2p/T = w₁ между угловыми частотами любых двух смежных гармоник, равная угловой частоте w₁ первой гармоники, будет стремиться к нулю. Соответственно, дискретное множество значений частот перейдет в непрерывно изменяющуюся частоту w.

Переписав первое выражение (*) в виде

и устремляя w к нулю, получим

(**)

т. е. ряд Фурье переходит при этом в интеграл Фурье. При этом функция F(jw) определится на основании второго выражения (*) в виде

    (***)

Соотношение (***) называют прямым преобразованием Фурье, позволяющим найти по заданной функции f(t) соответствующую ей F(jw).

Соотношение (**) называют обратным преобразованием Фурье, дающим возможность по известной функции F(jw) найти f(t).

Следует сделать существенную оговорку, что прямое преобразование Фурье имеет смысл, если интеграл в его левой части имеет определенное конечное значение. Для этого недостаточно, чтобы функция f(t) удовлетворяла условиям Дирихле. В дополнение к ним является достаточным, чтобы f(t) была абсолютно интегрируема в пределах от – до +, т. е. чтобы существовал интеграл

Это, как правило, означает, что f(t) должна стремиться к нулю при t   и при t .