Розподіл Больцмана

У відсутність зовнішніх сил середня концентрація n молекул газу в стані термодинамічної рівноваги усюди однакова. Якщо ж газ знаходиться в зовнішньому силовому полі, ситуація стає іншою. n = n₀e^-U/kT (2.36)

Цей закон і виражає розподіл Больцмана.

Швидкості руху молекул. До них відносяться три швидкості: найімовірніша v_ймов, середня v і середньоквадратична v_кв.

Найімовірніша швидкість відповідає максимум функції розподілу Р(v). Ця швидкість визначається з умови dF/dv = О, звідки слідує

v_{ймов = =} (2.22)

Середня швидкість за визначенням

v = = = (2.23)

Середньоквадратична швидкість vкв = ; вона знаходиться з умови v2 = = 3 звідки v_{кв = =}

Закон розподілу Максвелла-Больцмана як частинні випадки канонічного розподілу Гіббса

Розподіли Максвела і Больцмана є складовими частинами єдиного розподілу, званого розподілом Гіббса (це питання детально розглядається в спецкурсах по статистичній фізиці, і ми обмежимося тільки згадкою цього факту).

Обидва розібраних нами розподіли можна об'єднати в один закон розподілу Максвелла-Больцмана, згідно якому число dN молекул, проекції швидкості яких і їх координати лежать в інтервалах

(v_x, v_x + dv_x), (v_y, v_y + dv_y), (v_z, v_z + dv_z)

(x, x + dx), (y, y + dy), (z, z + dz)

визначається виразом

dN = A exp dv_xdv_ydv_zdxdydz (2.41)

де нормуючий множник A = n₀(m/2kT)^3/2, v2 = v_x² + v_y² + v_z², U = U(x, y, z).

2.6

Частинки з напівцілим спіном, їх називають ферміонами; вони підкоряються статистиці Фермі-Дірака, У статистиці Фермі-Дірака в кожному квантовому стані може знаходитися не більш одна частинка (принцип Паулі), а в статистиці Бозе-Ейнштейна - будь-яке число частинок.

Квантові розподіли. Ці розподіли є функціями f(ε_i), що визначають середні числа частинок в одній фазовій комірці з енергією ε_i або функції заповнення комірок:

для ферміонів (4.2)

Тут μ - так званий хімічний потенціал (деяка характерна енергія, значення якої можна знайти з умови нормування: сумарне число частинок у всіх фазових комірках повинне бути рівне повному числу N частинок макросистеми).

1. Для ферміонів функція f(ε_i) не може бути більше одиниці, а для бозонів її значення може бути будь-яким (f ≥ 0).

2. Якщо f << 1, то в знаменниках розподілів можна нехтувати одиницею, і формула переходять в (4.4)

3. У макросистемі рівні енергії ε_i частинок квазінепреривні (розташовані дуже щільно). Тому індекс i у ε_i можна опустити.

4. Для бозонів значення м в (4.3) не можуть бути позитивними, інакше при ε_i < μ виявиться, що f < 0, а це позбавлено фізичного значення. Таким чином, для бозонів μ ≤ 0. У макросистем із змінним числом бозонів (до числа яких відносяться, наприклад, фотони) μ = 0, і формула (4.3) переходить в (4.5) Для ферміонів подібного обмеження не існує.

Розподіл Фермі-Дірака

для електронів в металі

Вільні електрони в металі. Електропровідність металів обумовлена, як відомо, наявністю в них електронів, які ми називаємо вільними. Вони не пов'язані з конкретними атомами і можуть практично вільно переміщатися в межах зразка. У першому наближенні вільні електрони можна розглядати як ідеальний газ з ферміонів в прямокутній потенційній ямі.

Перш за все розглянемо поведінку електронного газу при температурі Т = 0. В цьому випадку функція (4.2) приймає наступні значення:

f(ε ≤ μ) = 1, f(ε > μ) = 0 (4.9)

В ідповідний графік показаний на рис. 4,1, з якого видно, що заповнені всі стани з енергією е < м, а стани з е > м виявляються незайнятими.

Стани квантовані, і енергетичні рівні є дискретними, але розташовані настільки густо, що енергетичний спектр можна рахувати, як вже мовилося, квазібезперервним (див. задачу 4.2).

Питома теплоємність – це відношення кількості теплоти (Q), необхідної для нагріву тіла, до різниці температур (ΔТ) тіла і до його маси (m), тобто це така кількість теплоти, яка необхідна для нагріву 1 г речовини на один градус:

2.7

Частинки з цілим спіном - бозони; вони підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна.

У статистиці Фермі-Дірака в кожному квантовому стані може знаходитися не більш одна частинка (принцип Паулі), а в статистиці Бозе-Ейнштейна - будь-яке число частинок.

Квантові розподіли. Ці розподіли є функціями f(ε_i), що визначають середні числа частинок в одній фазовій комірці з енергією ε_i або функції заповнення комірок:

для бозонів (4.3)

Тут μ - так званий хімічний потенціал (деяка характерна енергія, значення якої можна знайти з умови нормування: сумарне число частинок у всіх фазових комірках повинне бути рівне повному числу N частинок макросистеми).

1. Для ферміонів функція f(ε_i) не може бути більше одиниці, а для бозонів її значення може бути будь-яким (f ≥ 0).

2. Якщо f << 1, то в знаменниках розподілів можна нехтувати одиницею, і формула переходять в

(4.4)

3. У макросистемі рівні енергії ε_i частинок квазінепреривні (розташовані дуже щільно). Тому індекс i у ε_i можна опустити.

4. Для бозонів значення м в (4.3) не можуть бути позитивними, інакше при ε_i < μ виявиться, що f < 0, а це позбавлено фізичного значення. Таким чином, для бозонів μ ≤ 0. У макросистем із змінним числом бозонів (до числа яких відносяться, наприклад, фотони) μ = 0, і формула (4.3) переходить в

(4.5)

Для ферміонів подібного обмеження не існує.