Получение уравнений Гамильтона непосредственно из принципа стационарного действия

Простое прямое получение гамильтоновой формы механики исходит из гамильтоновой записи действия:

,

которое можно считать фундаментальным постулатом механики в этой формулировке ^[1]. (Под p и q без индексов тут имеется в виду весь набор обобщённых импульсов и координат). Условие стационарности действия

дает возможность получить канонические уравнения Гамильтона, причем варьирование тут ведется независимо по   и  . Так получаем (снова, но теперь без использования лагранжева способа) канонические уравнения Гамильтона:

Используя второе, можно выразить все   через набор   и  , после чего выражение под интегралом станет, очевидно, просто функцией Лагранжа. Таким образом мы получаем лагранжеву формулировку принципа стационарного (наименьшего) действия из гамильтоновой.

Математический формализм

Любая гладкая функция   на симплектическом многообразии   может использоваться, чтобы определить гамильтонову систему. Функция   известна как гамильтониан или энергетическая функция. Симплектическое многообразие называют фазовым пространством. Гамильтониан порождает специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известном как симплектическое векторное поле.

Симплектическое векторное поле (также называется гамильтоновым векторным полем) порождает гамильтонов поток на многообразии. Интегральные кривые векторного поля являются однопараметрическим семейством преобразований многообразия с параметром, называемым время. Эволюция во времени задаётся симплектоморфизмами. Из теоремы Лиувилля следует, что каждый симплектоморфизм сохраняет форму объёма в фазовом пространстве. Множество симплектоморфизмов, порождаемых гамильтоновым потоком, обычно называют гамильтоновой механикой гамильтоновой системы.

Гамильтоново векторное поле также порождает специальную операцию — скобка Пуассона. Скобка Пуассона действует на функции на симплектическом многообразии, таким образом придавая пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли.

В частности для данной функции 

Если мы имеем распределение вероятности ρ, то можно показать, что его конвективная производная равняется нулю, так как скорость фазового пространства ( ) имеет нулевую дивергенцию, и вероятность сохраняется. Получим

Это выражение называют уравнением Лиувилля. Каждая гладкая функция   над симплектическим многообразием задаёт семейство однопараметрических симплектоморфизмов, и если  , то   сохраняется фазовым потоком.

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей — нерешённый вопрос. Вообще, гамильтоновы системы — хаотичны; понятия меры, полноты, интегрируемости и стабильности плохо определены. В настоящее время исследования динамических систем посвящены, главным образом, изучению качественная свойств систем, и их изменений.

Билет 3. Вопрос 2.

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физикомПолем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией   есть

где

 — среднее число частиц в состоянии  ,

 — энергия состояния  ,

 — кратность вырождения состояния   (число состояний с энергией  ),

 — химический потенциал (который равен энергии Ферми   при абсолютном нуле температуры),

 — постоянная Больцмана,

 — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур  . В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными  ), функция распределения частиц называетсяфункцией Ферми:

Электронный газ.

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми - Дирака (235.2). Если ₀ — химический потенциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно (235.2), среднее число N(E) электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

                                                         (236.1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов  N(E) =f(E), где f(E) —функция рас­пределения электронов по состояниям.

Энергия Ферми. Уровень Ферми.

Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределения N(E) = 1, если E<₀, и N(E) = 0, если Е>₀. График этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до ₀ функция N(E) равна единице. При E=₀ она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=₀, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей ₀, свободны. Следовательно, ₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозна­чается Е_F (Е_F=₀). Поэтому распределение Ферми - Дирака обычно записывается в виде

                                                         (236.2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<<E_F. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀ вырождения (см. § 235) находится из условия kT₀=E_F. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T₀10⁴ К, т. с. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми - Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности Е_F(рис. 312, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T=0 К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е_F, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше Е_F. Вблизи границы Ферми при Е< Е_F заполнение электронами меньше еди­ницы, а при Е> Е_F — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т300 К и температуре вырождения T₀=310⁴ К, — это 10^–5 от общего числа электронов.

Если (Е–Е_F)>>kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми - Дирака переходит в распределение Максвелла - Больцмана. Таким образом, при (Е–Е_F)>>kT, т.е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Е–Е_F)<<kT, к ним примени­ма только квантовая статистика Ферми - Дирака.

характеристическая температура Т_Д твёрдого тела, определяемая соотношением kT_Д = hν_пр, где ν_пр — наибольшая частота упругих колебаний кристаллической решётки, k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка; константа Т_Д приближённо указывает границу, ниже которой сказываются квантовые эффекты.