1.3.1. Общие положения мнк

Остатки или так называемую случайную компоненту определяют как Ɛ_i =Y_i -Ȳ_i . Оценки параметров регрессии получили из уравнения:

Согласно, чтобы можно было применять МНК, необходимо, чтобы полученные оценки были «хорошими».

Такого рода задача равносильна следующей, исследование остатков предполагает наличие следующих 5-ти предпосылок МНК.

1.Случайный характер остатков

2.Нулевая средняя величина остатков , не зависящая от :

3.Гомоскедастичность остатков, то есть дисперсия каждого отклонения одинаковы для всех значений (нет роста дисперсии ) : Д ( ) = const=

4.Отсутствие автокорреляции остатков . Значение остатков распределены независимо друг от друга, то есть cov ( ; ) = 0, .

5.Остатки подчиняются нормальному распределению.

1.3.2. Выполнение первой предпосылки мнк (случайный характер остатков)

Чтобы проверить случайный характер E_i, строится график зависимости остатков E_i от расчетных значений зависимой переменной Ȳ_i

..

. . . E_i

..

.

Если на графике нет направленности в расположении т-к E_i , то остатки E_i– случайные величины и отсюда следует, что первая предпосылка МНК выполняется.

Иначе,если Е_i завис.от Ȳ_i то ост. неслуч

1.3.3.Выполнение второй предпосылки МНК (M( ε_i)=0)

Математическое ожидание случайного отклонения равно нулю: для всех наблюдений.

2ая предпосылка МНК М (Е_i) = 0 означает, что

Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом конкретном наблюдении может быть либо положительным, либо отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения. Если она равна 0, то 2ая предпосылка МНК выполняется.

1.3.5 Выполнение 4-го условия мнк (отсутствие автокорреляции остатков)

Определение. Нарушение независимости между ошибками для разных наблюдений называется автокорреляцией остатков. Т е Ɛ_i и Ɛ_j зависит друг от друга.

Нарушение этого условия делает модель неприемлемой для прогноза и аналитических целях. Невозможно использование таких моделей вызвано тем, что при наличии автокорреляции остатков, стандартизованные ошибки модели (как и в случае гетероскедостичности) будут неоценённые и отсюда следует, что проверка значимости коэффициентов регрессии будет ненадежность (т.е нарушение эффективности оценок).

Например, допустим, что остаток Ɛ_i находится под тест х²_табл<x²_расч, то автокорреляция в остатках есть, причем автокорреляционный процесс 4-го порядка.

1.3.6 Выполнение 5-го условия мнк (нормальность остатков)

Эта предпосылка говорит о том, что если случайная компонента распределена нормально, то и коэффициенты регрессии будут также распределены. Эта предпосылка в полной мере относится к предпосылкам метода максимального правдоподобия (ММП), и поэтому при проверке условий выполнения МНК, данное требование часто опускают.

Данное требование основано на центральной предельной теореме вероятности:

Если случайная величина является общим результатом взаимодействия большого числа случайных величин, то она приближённо имеет нормальное распределение. Случайная компонента Ɛ_i в неявном виде определяется несколькими факторами, следовательно, можно предполагать нормальность остатков.

Ɛ_i ~ N (0; ²)

Тесты на проверку нормальности – тест Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Бера-Жарка.