Глава 6

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕХНОСТНЫЕ НТЕГРАЛЫ

Определение Пусть множество ограничено. Разобьем евклидову плоскость с ПДСК сеткой прямых , , на прямоугольники. Совокупность прямоугольных ячеек, содержащихся в , обозначим , и площадь последнего множества обозначим . Совокупность прямоугольников, пересекающихся с , обозначим , и площадь последнего множества обозначим . По построению есть последовательность вложенных друг в друга множеств, и потому есть неубывающая ограниченная сверху последовательность. Ее предел называется нижней мерой Жордана множества . Аналогично, последовательность не возрастает и ее предел называется верхней мерой Жордана множества .

Определение Если , то множество называется измеримым (по Жордану), а число называется двумерной мерой Жордана (площадью) множества .

Определение Граничной точкой множества называется точка евклидовой плоскости в каждой окрестности которой есть как точки, принадлежащие , так и точки, которые не принадлежат . Множество граничных точек называется границей множест ва . Замыканием множества называется множество .

Определение Граница имеет нулевую жорданову меру,

если .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Множество измеримо тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевую жорданову меру.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 График непрерывной функции имеет нулевую жорданову меру и потому криволинейная трапеция

измерима.

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Если граница множества является

кусочно гладкой кривой, то это множество измеримо.

_____

Определение Диаметром множества называется число . Диаметром разбиения

множества на подмножества , называется число .

Определение Пусть на ограниченном измеримом множестве евклидовой плоскости задана функция . Разобьем на измеримые попарно непересекающиеся подмножества: . Выберем точки , , и образуем интегральную сумму

.

Если для некоторого числа

,

то это число называется двойным инте гралом (Римана) от функции на множестве . При этом функция называется интегрируемой (по Риману) на множестве .

Определение Пусть на множестве определены две функции

. Цилиндрическим телом называется множество точек в

Определение Если существует двойной интеграл

,

то он называется объемом цилиндрического тела.

ТЕОРЕМА 6.1 (свойства двойного интеграла)

1) (теорема существования) Двойной интеграл от непрерыв

ной функции на ограниченном замкнутом измеримом множестве существует.

2) Если функции интегрируемы на множестве , то интегрируема их линейная комбинация и

.

3) Если , то .

4) Если непрерывна на измеримом замкнутом ограниченном

множестве и , то

.

5) (теорема о среднем) В условиях предыдущего пункта

.

6) В условиях пункта 4 для любого разбиения на измеримые

подмножества .

Определение Пусть функции непрерывны на , и функция непрерывна на криволинейной трапеции . Можно показать, что функция непрерывна на . Тогда по теореме 5.2 существует определенный интеграл , который называется повторным интегралом

ТЕОРЕМА 6.2 1) (формула сведения двойного интеграла к

повторному) В условиях предыдущего определения имеет место

равенство , где .

2) (формула замены переменных) Пусть непрерывно дифференцируемое отображение отображает взаимно однозначно множество с кусочно гладкой границей на множество с кусочно гладкой границей. Пусть якобиан отображения имеет постоянный знак на и функция

непрерывна на . Тогда .

_____

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Вычисление объема цилиндрического тела.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Вычисление площади поверхности.

Площадью поверхности , задаваемой функцией , называется . Площадь поверхности, задаваемой параметрически, , вычисляется по формуле где .

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 (масса неоднородной пластинки)

Материальная пластинка с кусочно гладкой границей и непрерывной плотностью вычисляется по формуле ,

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 (координаты центра масс неоднородной пластинки)

.

_____

Определение Пусть функция определена на множестве , причем либо не ограничена, либо не ограничена в . Пусть существует расширяющаяся последовательность ограниченных измеримых подмножеств , которая исчерпывает :

. Если интегрируема на каждом , и существует и конечен предел

,

то его естественно назвать сходящимся несобственным интегралом от функции на множестве .

_____

Определение Пусть на спрямляемой кривой заданы две функция . Разобьем ее последовательностью точек . . Выберем на каждой дуге точку , и обозначим . Образуем интегральные суммы

и положим . Если для некоторого

,

то это число называется криволинейным интегралом второго рода (КИВР) от функции по переменной на дуге . Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода (КИВР) от функции по переменной на дуге . Если указанные интегра лы , существуют, то выражение

называется криволинейным интегралом второго рода (общего вида) (КИВР).

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Если кривая кусочно гладкая и функции

непрерывны на ней, то КИВР существует и вычисляет

ся по формуле

.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Аналогично определяется и вычисляется КИВР

на пространственной кривой.

ЗАМЕЧАНИЕ 3 Будем говорить что кривая с параметрическим

заданием , имеет ориентацию, обратную

к ориентации кривой . Из определения КИВР следует равенство

.

ПРИЛОЖЕНИЕ Пусть материальная точка единичной массы движется вдоль кусочно гладкой кривой под действием силы , приложенной в точках кривой, и непрерывно зависящей от . КИВР

естественно назвать работой по перемещению материальной точки вдоль кривой под действием силы .

_____

Определение Открытое множество называется областью, если любые его две точки можно соединить ломаной, целиком лежащей в этом множестве.

ТЕОРЕМА 6.3 (формула Грина) Пусть функции

имеют непрерывные частные производные на замыкании

области, граница которой является кусочно гладкой кривой. Тогда

.

СЛЕДСТВИЕ В условиях теоремы равносильны следующие утверждения.

1) Выражение является полным дифференциалом:

существует дважды непрерывно дифференцируемая функция

со свойством: в .

2) .

3) криволинейный интеграл не зависит от пути

интегрирования в : для любых двух точек и любой

соединяющей их кусочно гладкой кривой интеграл

зависит только концов этой кривой.

_____

Определение Пусть множество ограничено. Разобьем евклидово пространство с ПДСК плоскостями

,

на сеть кубов. С их помощью определяем верхнюю и нижнюю меры Жордана множества так же, как мы делали это в плоском случае в § 6.1. Множество измеримо, если . Это число назовем объемом .

ЗАМЕЧАНИЕ Из определения следует, что гребешок Дирихле не измерим по Жордану. Цилиндрическое тело измеримо, если замкнутое ограниченное плоское множество измеримо, и функции непрерывны на нем.

Определение Диаметром множества естественно

назвать число . Диаметром разбиения множества на подмножества , называется число .

Пример Диаметром параллелепипеда является длина его диагонали, а диаметром тетраэдра – длина наибольшая из длин его ребер.

Определение Пусть на ограниченном измеримом множестве евклидова пространства задана функция . Разобьем на измеримые попарно непересекающиеся подмножества: . Выберем точки , , и образуем интегральную сумму

.

Если для некоторого числа

,

то это число называется тройным интегралом (Римана) от функции на множестве . При этом функция называется интегрируемой (по Риману) на множестве .

ЗАМЕЧАНИЕ Для тройного интеграла имеют место свойства 1)-

6), аналогичные таковым для двойного интеграла из теоремы 6.1.

ТЕОРЕМА 6.4 1) (формула сведения тройного интеграла к повторному) 1) Обозначим криволинейную трапецию, где функции непрерывны на . Пусть функции непрерывны на , а функция в свою очередь непрерывна на измеримом цилиндрическом

теле . Тогда тройной интеграл от на существует и выражается через повторный по формуле

.

2) (формула замены переменных) Пусть непрерывно дифференцируе

мое отображение ,

отображает взаимно однозначно замкнутую ограниченную область с кусочно гладкой границей на замкнутую ограниченную область с кусочно гладкой границей. Пусть якобиан отображения имеет постоянный знак на и функция непрерывна на . Тогда имеет место такая формула замены переменных в тройном интеграле

.

ЗАМЕЧАНИЕ С помощью тройного интеграла можно доказать, что однородный шар с массой создает в пространстве вне шара такое же поле тяготения, что и материальная точка той же массы, расположенная в центре шара.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Масса измеримого тела с непрерывной плотностью вычисляется по формуле .

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Формулы координат центра масс тела аналогичны соответствующим формулам для пластинки.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 (момент инерции тела относительно оси) Интеграл

называется моментом инерции тела относительно оси .

____

Определение Пусть в каждой точке поверхности определен вектор нормали, пусть при непрерывном движении точки по поверхности этот вектор непрерывно изменяет свое направление. Поверхность называется двусторонней, если при непрерывном движении вдоль любой замкнутой кривой вектор нормали возвращается в исходную точку с сохранением направления. В противном случае поверхность называется односторонней.

Контрпример Лист Мебиуса является односторонней поверхностью.

Определение Векторным полем на множестве называется отображение в какое-либо векторное пространство .

ЗАМЕЧАНИЕ Всюду ниже и поле обозначаем

.

Определение Скалярным полем называется функция .

Определение Двусторонняя поверхность называется ориенти руемой, а выбор стороны, то есть фиксация единичного вектора нор

мали в какой-либо точке - ориентацией поверхности. Такая поверхность определяет два непрерывных векторных поля нормалей ,

.

Определение Пусть на двусторонней гладкой поверхности фиксирована ориентация и задано векторное поле

.

Разобьем на куски с кусочно гладкой границей. На измеримых частях поверхности с площадью выберем точки , и образуем интегральную сумму

.

Предельное значение

интегральных сумм, если оно существует при , называется поверхностным интегралом второго рода (ПИВР) от векторного поля на поверхности или потоком векторного поля через поверхность .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Обозначим одну сторону ориентируемой поверхности , а вторую - . Тогда ПИВРы на этих сторонах связаны равенством

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Если векторное поле непрерывно на гладкой поверхности , то ПИВР существует и вычисляется по формуле

.

ПРИЛОЖЕНИЕ Пусть жидкость осуществляет стационарное движение в пространственной области , то есть вектор скорости частицы жидкости не зависит от времени и вполне определяя ется координатами этой частицы. Тем самым, движение жидкости в определяется полем скоростей . Важной характеристикой последнего является поток жидкости через поверхность , который определяет объем жидкости, протекшей через поверхность за единицу времени.

­­­­­_____

Определение Векторное поле называется непрерывным (дифференцируемым), если его координатные функции непрерывны (дифференцируемы).

Определение Дивергенцией (расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скалярное поле , определяемое формулой

.

ЗАМЕЧАНИЕ (формула Гаусса-Остроградского) Пусть есть область в с гладкой границей . Пусть поле непрерывно дифференцируемо на замыкании области . Тогда имеет место формула

.

СЛЕДСТВИЕ (физический смысл дивергенции и формулы)

Поток векторного поля через замкнутую поверхность совпадет с суммарной мощностью всех источников и стоков, которые находятся внутри поверхности.

___

Определение Ротором (вихрем) дифференцируемого векторного поля называется векторное поле , определяемое по правилу

Определение Пусть в области задана измеримая кривая и непрерывное векторное поле . Тогда КИВР

называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 (физический смысл циркуляции) Если есть силовое поле, то циркуляция его вдоль кривой совпадает с работой поля по перемещению материальной точки единичной массы из в вдоль этой кривой.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 (формула Стокса) Пусть в области задана гладкая поверхность с кусочно гладкой границей . Пусть поле непрерывно дифференцируемо на . Тогда имеет место формула

,

где .

ЗАМЕЧАНИЕ 3 (физический смысл формулы и ротора)

Работа (циркуляция) силового поля вдоль любого замкнутого пути вполне определяется не самим полем, а его вихрем.

_____

Определение Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если на существует дифференцируемое векторное поле со свойством .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Дважды непрерывно дифференцируемое на области векторное поле соленоидально тогда и только тогда, когда .

ЗАМЕЧАНИЕ 2 (физический смысл соленоидальности)

Рассмотрим трубообразную область (трубку) (вообще говоря, изгибающуюся и переменного сечения), боковая поверхность которой является касательной к полю , то есть . Обозначая "основания" ,. Если поле скоростей движущейся жидкости стационарное и соленоидальное, то за единицу времени объем жидкости, вошедший в

"трубку" через основание , совпадает с объемом, вышедшим из через основание . Поэтому говорят о трубообразном (соленоидальном) движении жидкости.

Определение Векторное поле называется потенциаль ным, если на существует дифференцируемое скалярное поле со свойством . В этом случае называется потенциалом поля .

ЗАМЕЧАНИЕ Если есть дважды непрерывно дифференци

руемое векторное поле на области , то равносильны следующие

утверждения.

1) является потенциальным полем на .

2) Пусть область является односвязной, то есть любую замкнутую

кривую в можно непрерывным образом стянуть в этой области в

точку. Тогда .

3) КИВР не зависит от пути интегрирования, а только от его

концов.

СЛЕДСТВИЕ (физический смысл) Силовое поле

является потенциальным тогда и только тогда, когда его работа по

перемещению материальной точки вдоль любого замкнутого

контура равна нулю. В физике экспериментально

устанавливается, что таким свойством обладает, например,

электрическое поле, созданное неподвижными зарядами

(электростатическое поле).

Определение Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно и потенциальное и соленоидальное.

ЗАМЕЧАНИЕ Дважды непрерывно дифференцируемое потенциальное поле на односвязной области является гармоническим тогда и только тогда, когда его потенциал этого поля является решением уравнения Лапласа

.

СЛЕДСТВИЕ Векторные поля имеют одинаковые

вихри и одинаковые расходимости:

, ,

тогда и только тогда, когда их разность есть гармоническое поле.

ТЕОРЕМА 6.5 (Гельмгольца) Всякое непрерывно дифференцируемое в односвязной области поле представимо в виде суммы соленоидального и потенциального полей: .

СЛЕДСТВИЕ Из определений следует, что линейная комбинация соленоидальных (потенциальных) полей есть поле соленоидальное (потенциальное). Это позволяет получить общей вид разложения в теореме. Действительно, из равенства

следует , то есть эти разности определяют одно и тоже гармоническое поле . Отсюда

.