2. Завдання у MathCad
Для захисту електричних ланцюгів від перевантаження використовують плавкі запобіжники. Процес нагріву плавкого елементу до його руйнування описується рівнянням теплового балансу
,
де c1 і m1– питома теплоємність і маса плавкого елементу, c1 і m1 – питома теплоємність середовища, в якій знаходиться елемент, Т – температура елемента, t - час, α - коефіцієнт тепловіддачі, S - поверхня охолодження, Тс – температура навколишнього середовища, і – струм, що проходить через елемент, R0 - електричний опір елементу при Т0 = 293К, β - температурний коефіцієнт опору.
Ефективність захисту залежить від того, наскільки швидко при перевантаженні плавкий елемент запобіжника розірве електричне коло.
Розрахуйте залежність при початковій умові Т(t = 0) = Тс = 293К. Доданок в рівнянні дорівнюватиме нулю. Визначте час, за який перегорає запобіжник, якщо температура плавління його робочого елементу дорівнює 1373К.
Параметр |
18-1 |
18-2 |
18-3 |
c1m1, Дж/К |
1,7 10-4 |
5 10-4 |
3,3 10-4 |
αS, Вт/К |
3 10-5 |
3,5 10-5 |
4 10-5 |
R0, Ом |
0,04 |
0,014 |
0,017 |
i, А |
1 |
2 |
2,5 |
β, 1/К |
0,05 |
0,06 |
0,05 |
3.Рішення у MathCad
Вирішення більшості завдань після відповідних спрощень зводиться до вирішення рівнянь, що містять шукану функцію або декілька функцій, залежних від одного або декількох аргументів, самі ці аргументи і похідні різних порядків від шуканих функцій, так званих диференціальних[3]. Диференціальне рівняння, отримане в результаті дослідження якого-небудь реального процесу або явища, називають диференціальною моделлю цього явища або процесу. Ми розглядаємо лише моделі, що описуються звичайними диференціальними рівняннями, тобто рівняннями, в яких невідомі функції залежать лише від однієї змінної.
У класичному аналізі розроблено немало прийомів знаходження вирішень диференціальних рівнянь через елементарні функції. Тим часом при вирішенні практичних задач задачці методи виявляються, як правило, або зовсім даремними, або їх рішення пов'язане з недопустимими затратамизусиллями і часом. Для вирішення прикладних задач задачстворені методи наближеного вирішення диференціальних рівнянь, одним з яких і є метод Рунге-Кутта, який розглядатиметься нижче.
У рішенні використана функція rkfixed[1].Вона обчислює рішення системи, яка містить звичайні диференційні рівняння першого порядку методом Рунге-Кутта з фіксованим кроком інтегрування. Звернення до функції виконується наступним чином: , де Х - вихідні дані, повертаються функцією, V - вектор початкових значень, розмірність якого повинна відповідати порядку розв'язуваної системи,t0- початкове значення аргументу, Т - верхня межа зміни аргументу, N - кількість розраховуються точок на інтервалі відt0 до Т, D - ім'я функції, яка описує праву частину системи диференціальних рівнянь.
З наведеного рішення видно, як записується функціяD(t,V) у документі MathCAD. Ім'я залежної змінноїV повинно співпадати з іменами та її компонент, присутніх у правій частині формули D(t,V). Самі диференціальні рівняння в попередньо приводяться до канонічного вигляду так, щоб у лівій частині кожного з них знаходилася тільки похідна по одній із компонент V. Першим у системі має записуватися рівняння, визначене для похідної від нульової компоненти V, тобто від V2, потім - від V3 і так далі [5]. Слід зазначити, що відлік індексів у MathCAD визначається параметром ORIGIN і зазвичай по замовчуванню починається з нуля. Функція rkfixed повертає знайдене рішення у вигляді двомірного масиву. Результат рішення методом Рунге-Кутта показаний графічно в роботі.
ВИСНОВКИ
В даній роботі розглянуто моделювання залежності нагріву елементу плавкого запобіжника від часу. Така залежність описується диференціальним рівнянням:
В MathCAD такий тип рівнянь розв’язується методом Рунге – Кутта. Таким чином початкове рівняння було приведено до рівняння:
В роботі наведено рішення даної системи рівнянь та побудовано графіки залежності нагріву елементу плавкого запобіжника від часу.
ЛІТЕРАТУРА
1. А. А. Левицкий. Основы численных методов: Лабораторный практикум. Красноярск. (2005), 111.
2. http://www. w3.org
3. http://www.exponenta.ru
4. Гулд Х. Компьютерное моделирование в физике: [В 2 ч.] / Х. Гулд,
Я. Тобочник. – М.: Мир, 1990. Ч.1. 349 с.
5.Турчак, Л. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 320 с.
ДОДАТОК 1
ДОДАТОК 2
ДОДАТОК 3