3. Критерии согласия статистик Колмагорова

Для оценки совпадения (согласия) эмпирических и теоретических статистик применяют различные критерии согласия.

Критерий К. целесообразно применять при малых объемах выборки и известных априори характеристиках теоретического закона распределения. Для испытания критерия строят на одном графике теоретическую F(x) и эмпирическую F^(x) кривые распределения и найти наибольшее абсолютное отклонение между этими функциями:

Согласие законов распределения определяют по вероятности:

()

где n – число отказов; - значение критерия k.

Если , то согласие между теоретическим и эмпирическим законами распределения можно считать хорошим. Если , то это означает, что вероятность такого случайного отклонения эмпирической функции теоретически мала. Т.е. отклонение F^(x) от F(x), по видимому, не случайно, т.е. формула F(x) недостаточно хорошо согласуется с F^(x).

По уравнению () можно определить границу, в которой будет находиться неизвестная формула распределения F(x), при помощи известной из опыта F^(x). Для этого запишем уравнение в виде неравенства:

Определим верхние и нижние границы:

; ()

, а - всегда; если по уравнениям () получаются значения меньше 0 и больше 1, то следует принять равными 0 и 1 соответственно.

3. Определение надежности привода на этапе проектирования.

1. Общие положения

Этап проектирования является определяющим в обеспечении надежности. Основные задачи расчета и исследования надежности на этом этапе можно разделить на три группы:

1. Обоснование требований по надежности к основным элементам привода (Нормирование надежности). (На ранней стадии проектирования, обоснование принципов проектирования).

2. Обеспечение надежности элементов и привода в целом. ( Возможные способы обеспечение надежности, выбор проектных характеристик, запасов прочности, выбор оптимальных конструкций).

3. Контрольные расчеты надежности привода по проектным данным.

Этап производства с точки зрения надежности является связующим звеном между этапом проектирования и эксплуатации. В процессе производства требуется изготовить привод с уровнем надежности, заданным на этапе проектирования. Производство сопровождается действием объективных и субъективных факторов, которые в совокупности могут снижать надежность. Их можно разделить на две группы:

А) Факторы, действие которых приводит к грубым нарушениям технологического процесса, погрешностям изготовления, монтажа, появлению скрытых дефектов, приводит к потере работоспособности.

Б) Факторы, действие которых приводит к непредсказуемым частичным изменениям начальных свойств элементов и материалов, снижающих надежность.

Проведение сплошного контроля для обнаружения дефектов, обусловленных функциями группы А и особенно группы Б, требует больших затрат. Поэтому на практике используют выборочный контроль, которому подвергают только некоторую случайную выборку из партии (Идея – академик М.В. Остроградский, 1846 г.).

При организации контроля задают ошибки (вероятность забракования данной партии при приемке – риск поставщика) и (вероятность пропуска брака при приемке изготовленной продукции – риск потребителя),

и вводят оперативную характеристику контроля, т.е. функцию , равную вероятности принятия партии, содержащей долю дефектных изделий , (n – число дефектов изделия в партии объемом N).

На этапе эксплуатации привода практически выявляется достигнутый уровень надежности. Из-за влияния на него возмущающих факторов его надежность изменяется. Когда надежность становится минимальной, привод ремонтируют. В результате ремонта и замены вышедших из строя элементов вероятность безотказной работы повышается до Р1, однако из-за выработки ресурса оставшихся элементов новый уровень будет ниже первоначального Р0, т.е Р2<Р1<Р0.

Д ля количественной оценки надежности на этапе проектирования и производства широкое распространение получили методы не превышения и структурных схем. В общем случае они применяются, совместно дополняя друг друга. В то же время, в зависимости от задачи анализа надежности и располагаемого объема информации, каждый метод имеет преобладающее значение.

Метод не превышения – используется в случае определения надежности по отношению к постепенным отказам и надежности по отношению к прочности конструкции.

Метод структурных схем – используется при анализе надежности по отношению к внезапным отказам.

5.2. Общее уравнение надежности привода

В общем случае привод включает в себя источники питания, усилители и распределители мощности, устройства управления, исполнительный орган и вспомогательные устройства.

Т.о. привод является сложной системой взаимосвязанных узлов, агрегатов и элементов, т.е. упорядоченной совокупностью взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, образующих единое целое. Привод как система характеризуется структурой и функциями. Под структурой привода понимают совокупность элементов и взаимные связи между ними, под функцией – совокупность всех возможных действий.

Для анализа надежности, сложных системы разбивают на элементы.

Элементом – называют совокупность различных технических средств, которые при данном исследовании рассматриваются как одно неделимое целое. Элементы характеризуются тем, что они имеют самостоятельные входные и выходные сигналы управления.

Сначала рассматривают характеристики элементов, а затем оценивают надежность системы в целом.

Выходные параметры элементов по разному влияют на формирование выходного параметра всей системы, определяя ее надежность. В зависимости от этого можно выделить три основных группы этих параметров:

1. Параметры, которые влияют на работоспособность только самого элемента;

2. Параметры, участвующие в формирование выходного параметра всей системы;

3. Параметры, влияющие на работоспособность других элементов.

В зависимости от преобладающих свойств элементов формируют основные методы анализа надежности. Система, состоящая из элементов с параметрами 1-ой группы, является системой с независимыми элементами. Для ее надежности необходима надежная работа каждого элемента в отдельности.

Для приводов характерно наличие параметров 2-ой группы. В этом случае элементы нельзя считать независимыми, необходимо рассматривать систему в целом и учитывать, как участие каждого элемента в формировании надежности всей системы, так и их взаимное влияние на работоспособность.

При расчете надежности сложных систем все элементы целесообразно разбить на три группы:

1. Элементы, работоспособность которых практически не влияет на работоспособность системы (корпусные детали).

2. Элементы за рассматриваемы промежуток времени практически не изменяются (корпусные детали, малонагруженные элементы с большим запасом прочности).

3. Элементы отказы, которых приводят к отказу привода.

Анализируются только элементы третьей группы.

В сложных системах безотказная работа системы является необходимым но не достаточным условием надежности всей системы. Это объясняется тем, что в сложных системах большую роль играют взаимосвязи элементов. Работоспособные элементы могут воздействовать на другие элементы и вывести их из строя (износ). Кроме того, малые изменения параметра в пределах допустимого могут дать такие сочетания, которые неблагополучно отразятся на работоспособности всего привода. Т.о., при анализе надежности привода как сложной системы необходимо учитывать взаимосвязь элементов.

Модель надежности привода должна устанавливать функциональную связь между показателями надежности привода как системы с показателем надежности его элементов.

В общем виде вероятность безотказной работы привода может быть описана уравнением вида:

где F(…) – функционалное представление структуры привода и взаимосвязь его элементов в любой момент времени.

- вероятность безотказной работы i-го элемента.

N – число элементов привода.

U(…) – оператор определяющий степень влияния на показатель надежности возмущающих факторов.

- объем и регламент т.о. i-го элемента в процессе эксплуатации.

Так как привод состоит из функционально зависимых и взаимосвязанных элементов, в процессе работы между ними имеет место статистическая связь.

Пусть число элементов привода равно N и для каждого элемента априори известны показатели надежности, например вероятность безотказной работы . Любой из элементов может находится в 2-х состояниях: А – исправном (безотказном) и - неисправном, то есть в состоянии отказа. В этом случае вероятность того, что совместно произойдет N событий А (все элементы привода находятся в исправном состоянии), определяется зависимостью:

.

Между событиями и (вероятностями безотказной работы элементов i и j) имеет место корреляционная связь, которая определяет коэфициент корреляции:

,

где - вероятность одновременного появления событий и ;

- вероятность появления события .

Из ряда уравнений получим выражение для вероятности безотказной работы привода как системы состоящей из N зависимых элементов:

, ()

где - коэффициент учитывающий статическую связь между отказами элементов:

где i<j – коэффициент корреляции , , …

В зависимости от степени статической связи между отказами элементов возможны следующие частные случаи:

1. (статическая связь отсутствует); ,

Это означает, что надежность системы состоит из N независимых элементов, определяется произведением вероятностей безотказной работы отдельных элементов.

2. (все элементы статически зависимы) ,

Если элементы привода зависимы, то вероятность безотказной работы системы определяется вероятностью работы наименее надежного элемента (модель «слабого» звена).

Соотношение (*) удобно для оценки надежности систем при проектировании, так как оно не связано с допущением о виде закона распределения рассматриваемых случайных величин или их векторов.

5.3. Метод не превышения или «несущая способность – нагрузка».

Одной из основных задач при проектировании привода является построение такой конструктивной схемы, при которой основные характеристики элементов и привода находятся в некоторых приделах, гарантирующих выполнение приводом его функций. Условия успешного функционирования привода часто формируются в виде соотношений, отражающих требования не превышения некоторой функцией ее допустимых значений.

Надежность привода определяется соотношением допустимых и возможных значений выходных параметров.

Работоспособность характеризуется постоянной областью предельных состояний, выход за пределы которых классифицируется как отказ, то есть когда . В общем случае границы работоспособности могут занимать случайное положение. При анализе надежности допустимые значения выходного параметра , характеризуется предыдущим состоянием, задают. (установить нормативы трудно:

1. Допустимые значения задают для базовых машин, а не для привода;

2. Между выходными параметрами и степенью повреждений может существовать функциональная связь, отражающая структуру привода. Линейный закон измерения степени повреждений может привести к нелинейным временным изменениям выходного параметра, так как повреждение связано с физическими параметрами, а изменение выходного параметра – отражает макропроцесс, происходящий во всей системе).

В связи с этим, хотя предельное значение выходного параметра величина не случайная, при анализе надежности ее рассматривают как случайную с соответствующими статистическими характеристиками.

Под предельными характеристиками привода будем понимать такое его состояние, при котором действительная нагрузка равна несущей способности. Если обозначить нагрузку через R, а несущую способность через S, то условие не превышения (безотказности соответственно) запишем в виде R<S.

Несущая способность и нагрузка из-за влияния совокупности возмущающих факторов различной природы являющихся случайными величинами или функциями, имеющими нормальное распределение с плотностью вероятностей:

;

,

где и - математическое ожидание нагрузки и несущей способности,

и - средне квадратичные отклонения.

В качестве нагрузки и несущей способности следует выбирать одни и те же физические параметры: деформации, напряжения…

Рассмотрим одно пред. сост. В качестве параметра состояния примем разность между несущей способностью и нагрузкой : Z=S-K

Кривые распределения несущей способности и нагрузки могут пересекаться то есть появляться области где нагрузки больше чем несущая способность, то есть нарушаются условия работы (отказ)

Значение Z задается композицией норя. распр., при которой снова получается нормальный закон распределения с м.о.:

и дисперсией:

Плотность распределения величины Z:

Вероятность того, что нагрузка не превысит несущую способность определяется уравнением:

Переходя к нормированной функции Лапласа, получаем расчетную зависимость:

где -

- если между несущей способностью и нагрузкой отсутствует статическая связь

5.4. Статистический коэффициент запаса работоспособности ()

Статистическим коэффициентом запаса работоспособности называется отношение м.о. несущей способности к м.о. нагрузки.

Коэффициент запаса выбирают для обеспечения работоспособности в случае появления неучтенных при проектировании факторов. В идеальном случае

=1 (если параметры, привода строго детерминированы). Т.к. нагружающая и несущая способности – случайные функции, то  должен быть больше 1 и увеличивается с ростом Dx.

 вычисляют для всех определяющих параметров привода.

Вероятность выполнения условия не превышена:

или

где - квантиль нормального распределения, - статический коэффициент запаса работоспособности, - коэффициент вариации нагрузок,

- коэффициент вариации несущей способности.

Необходимый (обеспечивающий заданную вероятность работоспособности) коэффициент запаса:

,

где ;

Если несущая способность детерминирована ( ), то коэффициент запаса прочности по нагрузке определяется только вариацией нагрузки

Когда детерминирована нагрузка ( ):

На  вариации нагрузки влияют меньше, чем несущие способности.

5.6. Метод структурных схем

При расчете надежности привода целесообразно представлять его как систему элементов, для которых можно определить показатели надежности.

Деление системы на элементы и влияние отказов элементов на надежность системы отражается структурными схемами надежности (ССН).

Метод СС применяют для расчета надежности, как вероятности внезапных отказов при условии, что все элементы системы являются одно-отказными (т.е. в элементах невозможны разные отказы одновременно) и отказы элементов независимы.

Основой структурных схем является изображение последовательно и параллельно изображенных элементов, выражающие события безотказности их действия. Последовательным считается соединение элементов, при котором отказ хотя бы одного из них приводит к отказу всей системы. Параллельным называется соединение элементов в системе, при котором отказ системы наступает только тогда когда откажут все элементы. В некоторых случаях система состоит из неполных подсистем с основным и резервированным соединением элементов. Такие системы называют системами с комбинированным (смешанным) соединением элементов.

Тип соединения элементов с структурной схеме зависит от влияния отдельных элементов на работоспособность всей системы и не всегда совпадает с монотонным соединением.

а) – последовательное соединение; б) параллельное соединение; в), г) – комбинированное соединение; д) – упрощенная система.

Система последовательного соединения элементов безотказна только в том случае, когда безотказны все элементы от 1-го до n. Вероятность безотказной работы последовательно соединенных элементов равна П вероятности появления всех событий:

Система параллельно соединенных элементов безотказна, если безотказны оба элемента или хотя бы один из них:

Если , то

Для трех элементов включенных в схему параллельно: .

Если структурная схема состоит из k параллельных цепей, в каждой из которых n элементов, то вероятность безотказной работы системы:

Сложные системы составляются по принципу прохождения сигнала, который состоит в том, что сигналы в сложных системах проходят только по исправленным элементам (отказавший элемент сигнал не пропускает). Так, при последовательном соединении элементов сигнал со входа на выход не проходит, если откажет хотя бы один элемент. При параллельном соединении для прохождения сигнала достаточно иметь хотя бы одну исправную ветвь.

В период эксплуатации интенсивность отказов не зависит от времени и справедлив экспоненциальный закон надежности.

В этом случае, для последовательно соединенных n элементов:

,

где - интенсивность отказов и время исправной работы i-го элемента.

Надежность системы с последовательным соединением элементов ниже надежности наименьшей надежности элемента. Чем сложнее система, тем ниже ее надежность при прочих равных условиях (оккам).

При параллельном соединении элементов вероятность безотказной работы:

(*)

Надежность параллельных соединений элементов при одинаковой их безотказности выше, чем надежность последовательного соединения.

Для высоконадежных элементов, когда справедливо неравенство <1 и имеем:

Простота расчета над сложными системами при экспоненциальном законе надежности часто приводит к тому, что этим правилом пользуются и в тех случаях, когда причина выхода из строя – постепенный отказ, что в общем случае – неверно.

Обычно при расчете надежности сложных систем считают, что вероятность безотказной работы каждого элемента известна или задана. При этом учитывают, что она формируется под влиянием различных процессов и является функцией времени.

Для каждого элемента характерна своя кривая наработки до отказа . При изменении периода (ресурс), в течении которого рассматривается работа системы, изменяется и для каждого элемента. Так, при изменении до вероятность отказа первого элемента возрастает в несколько раз, второй элемент становится критически не работоспособен, а третий элемент не лимитирует P(t), поскольку его область отказов находится в зоне .

Для оценки надежности такой системы не подходит экспоненциальный закон. Использовать формулу (*) необходимо с учетом зависимости от времени согласно той или иной модели отказов.

Для расчета надежности сколь угодно сложных систем достаточно знать состав элементов, их число, монтажные соединения и статические характеристики показателей надежности каждого элемента. Данные о составе элементов определяются по монтажной схеме, а показатели надежности приводов – на основании данных эксплуатации приводов, подобных проектируемым.

Схема формирования вероятности отказа

Расчет показателей надежности по структурным схемам целесообразно проводить по блокам и узлам привода. Это позволяет сравнить узлы по надежности, выявить слабые и наметить пути повышения надежности на стадии проектирования и эксплуатации.