- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Исследование одной краевой задачи на графе для струнной системы с циклом
- •010109 – Функциональный анализ
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории краевых задач на графах
- •2. Постановка краевой задачи.
- •3. Невырожденность.
- •Построение функции Грина задачи.
- •Решение дифференциального неравенства .
Решение дифференциального неравенства .
Рассмотрим задачу (2.1)-(2.7).
Теорема 3.
Если на Г, то на Г.
Доказательство.
Возможны 3 случая:
1) ; 2) ; 3) .
Рассмотрим 1-ый случай:
Если , и функция убывает на . Так как , то , . Пусть , . Функция убывает, возможны 3 случая: 1.1 ; 1.2 ; 1.3 . Рассмотрим случай 1.1: Если убывает и положительна на , то на . Тогда, учитывая условие (2.1): , возрастает от точки до и, имеем на .
Из условия непрерывности (2.3) имеем: и условия баланса (2.5) имеем: , следовательно, функция возрастает от точки до . Тогда на .
Из условия непрерывности (2.4) имеем: и условия баланса (2.6) имеем: , следовательно, функция возрастает от точки до . Тогда на , что противоречит условию (2.2): .
Рассмотрим случай 1.2: Функция убывает и из этого следует, что на . Тогда, учитывая условие (2.1): , убывает от точки до и, имеем: на .
Из условия непрерывности (2.3) имеем: и условия баланса (2.5) имеем: , следовательно, функция убывает от точки до . Тогда на .
Из условия непрерывности (2.4) имеем: и условия баланса (2.6) имеем: , следовательно, функция убывает от точки до . Тогда на . Что противоречит условию (2.2): .
Рассмотрим случай 1.3: Функция убывает и , . Так как , то функция возрастает от точки до . Так как функция убывает от точки до , и по условию (2.1): . Из условий (2.5),(2.6) имеем: , из условия непрерывности и так как , то функция убывает от точки до и на . Из условия непрерывности и так как функция убывает от точки до , и по условию (2.2): , следует, что внутри и . Следовательно функция на Г, и на .
Рассмотрим 2-ой случай:
Пусть теперь . Если , и функция убывает на . Так как , то , . Пусть , . Функция убывает, возможны 3 случая: 2.1 ; 2.2 ; 2.3 и .
Рассмотрим случай 2.1: Если убывает и положительна на , то на . Тогда, из условий баланса имеем:
и . Так как на и , то на . Тогда возрастает от точки до , и по условию (2.1): , следует, что на . Из условия непрерывности .
Так как на и , то на . Тогда функция возрастает от точки до , из условия непрерывности: , следует, что на , что , противоречит условию (2.2).
Рассмотрим случай 2.2: Если функция убывает и на , то на . Тогда, из условий баланса имеем:
и . Так как на и , то на . Тогда убывает от точки до , и по условию (2.1): , следует, что на . Из условия непрерывности .
Так как на и , то на . Тогда функция убывает от точки до , из условия непрерывности: , следует, что на , что , противоречит условию (2.2).
Рассмотрим случай 2.3: Если функция убывает и и . Так как , то возрастает от точки до . Так как , то убывает от точки до . Тогда, из условий баланса имеем:
и . Так как на и , то на . Тогда возрастает от точки до , и по условию (2.1): , следует, что на . Из условия непрерывности .
Так как на и , то на . Тогда функция убывает от точки до , из условия непрерывности: , следует, что на . Следовательно функция на Г, и на .
Рассмотрим 3-ий случай:
Заметим, что если поменять направление на каждом из , , на противоположное, то рассуждения случая 3 будут аналогичными рассуждениям при доказательстве случая 1.
Следствие: Если на Г, то внутри Г и на .
ЛИТЕРАТУРА
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление Серия: «Курс высшей математики и математической физики» -3выпуск/Главная редакция физико-математической литературы. М.: Наука,1969.-424с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Физматлит, 1961.
3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений/ Под ред. И.Е. Морозова – М. :Наука, 1964.- 272с.
4. Покорный Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах/Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, А.В. Боровских. К.П. Лазарев, С.А. Шабров М. : Физматлит, 2004.- 272с.