Решение типовой задачи.
Исследовать на экстремум функцию и определить интервалы ее возрастания и убывания, найти точки перегиба графика этой функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика. Построить график.
Решение.
Чтобы найти точки экстремума, вычисляем производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение:
Корни уравнения - критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:
Производную можно представить так: .
И з последнего равенства видно, что в первом интервале
, во втором и в третьем интервале . Следовательно, в первом и третьем интервалах функция возрастает, а во втором убывает. Так как в критической точке производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. А в силу того, что в точке производная меняет знак с минуса на плюс, функция имеет минимум в этой точке. Вычислим значение функции в этих точках: .
Точка B(6;-8)- точка минимума.
Точка A(-2;13 )- точка максимума.
Чтобы найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости, находим вторую производную, приравниваем ее нулю и решаем полученное уравнение.
x-2=0; x=2 – критическая точка второго рода. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала: Как видно, в первом случае , во втором - Следовательно, в первом интервале график функции – выпуклый, во втором – вогнутый. Так как производная при переходе через точку х=2 меняет свой знак, то х=2 есть абсцисса точки перегиба графика. Вычисляем ординату этой точки:
;
Таким образом, точка – точка перегиба графика функции.
6. В задачах 1-20 требуется найти указанные неопределенные интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Решение типовых задач
а) Найти интеграл
Решение:
Воспользуемся следующими свойствами неопределенного интеграла:
1. постоянной множитель можно выносить за знак интеграла, то есть
2. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности, то есть
Преобразуем подынтегральную функцию в интервале (1) и воспользуемся формулой 1 из таблицы основных неопределенных интегралов:
=
б) Найти интеграл
Решение:
Воспользуемся подстановкой . Тогда ,откуда .Таким образом,
в) Найти интеграл
Решение:
Воспользуемся подстановкой
Тогда . Таким образом,
7. В задачах 1-20 вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.
Решение типовой задачи
Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой .
Решение:
Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой у=f(х); снизу – непрерывной кривой , слева– прямой х=а, справа– прямой х=b, вычисляется по формуле
Если кривые у=f(х) и образуют замкнутую линию, то точки а и b совпадают с абсциссами точек пересечения этих кривых. Найдем точки пересечения заданных параболы и прямой. Для этого решим систему их уравнений:
Приравниваем значения у из обоих уравнений:
Отсюда .Таким образом, парабола пересекается с прямой в точках А(-6;0) и В(0;12).
Искомая фигура изображена на рисунке.
Из формулы (1) следует, что площадь фигуры равна
=
Следовательно, искомая площадь равна 12 кв. ед.
8. Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения. Состояние популяции (в простейшем понимании - стада) можно охарактеризовать массой m этой популяции (то есть весом всего стада), причем масса m является функцией времени m=m(t) , Считая, что скорoсть прироста биомассы пропорциональна биомассе популяции с коэффициентом k=k(t) и что известна начальная биомасса m (при t=0), найти величину биомассы в момент t=T.
1. m = 12; T=2; k(t)= .
2. m =18; T=18; k(t)= .
3. m =9; T=8; k(t)= .
4. m =12; T=2; k(t)= .
5. m =14; T=3; k(t)= .
6. m =10; T=2; k(t)= .
7. m =1; T=12; k(t)= .
8. m =5; T=4; k(t)= .
9. m =18; T=2; k(t)= .
10. m =8; T=2; k(t)= .
11. m = 2; T=2; k(t)= .
12. m =8; T=18; k(t)= .
13. m =19; T=8; k(t)= .
14. m =22; T=2; k(t)= .
15. m =24; T=3; k(t)= .
16. m =4; T=2; k(t)= .
17. m =7; T=12; k(t)= .
18. m =15; T=4; k(t)= .
19. m =8; T=2; k(t)= .
20. m =18; T=2; k(t)= .