- •Глава XIV Теория аналитических функций.
- •§79. Функции и функциональные ряды. Элементарные функции.
- •§80. Производная и интеграл.
- •§80. Производная и интеграл (продолжение).
- •§81. Интеграл Коши и его следствия.
- •§ Ряд Лорана и изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •§83. Вычеты и их приложения.
- •Конформные отображения
Глава XIV Теория аналитических функций.
Комплексное число z=x+iy, отличное от нуля можно записать в тригонометрической форме:
, где - модуль комплексного числа z, Arg z – аргумент этого числа.
Значение аргумента заключенное в промежутке (-π, π], называется главным значением аргумента и обозначается arg z.
Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле:
( ), где –π<arg z π.
Главное значение аргумента числа z=x+iy можно вычислить по формулам:
, при x>0,
, при x<0, y 0,
, при x<0, y<0.
№2664. Найти модули и главные значения аргумента комплексных чисел, заданных ниже. Записать эти числа в тригонометрической форме:
z=1+i
(т.к. x>0)
3) z=3
5) z=6i
7) z=-1+i
9)
11)
13)
Корень n-ой степени из комплексного числа , отличного от нуля имеет n значений. Все они определяются по формуле:
(k=0;+1;…;n-1)
№2665. Найти все значения корней, заданных ниже комплексных чисел, и изобразить их в виде точек комплексной плоскости:
1) (k=0;1)
( )
k=0,
k=1
3) , z=-1, ,
(k=0,1,2)
k=0,
k=1,
k=2,
5) (k=0,1,2,3)
k=0,
k=1,
k=2,
k=3,
7) , z=
(k=0,1)
k=0, ;
k=1,
9) , z=2-i2
(k=0,1,2,3,4)
В задачах 2675-2684 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему равенству:
№2675
- окружность с центром в точке z0 радиуса R.
=R2
№2677
|z+1-2i|=3 – окружность с центром в точке -1+2i радиуса 3.
№2679.
Re z - Im z =2
x – y =2 => y = x – 2 - прямая.
№2681.
|z - 1| + |z + 1| =3
, , ,
№2683.
, , , , , ,
В задачах 2685-2696 требуется найти множество точек в комплексной плоскости (Z), удовлетворяющих соответствующему неравенству:
№2685.
|z - z0|<R, , - внутренность круга с центром в точке z0 радиуса R.
№2687.
|z +1- i| <3
, - внутренность круга с центром в точке радиуса 3.
№2689.
Re z > 2, x>2 – полуплоскость расположенная справа от прямой x=2.
№2690.
, - прямая y=-1 и полуплоскость расположенная ниже этой прямой.
№2691.
0<Re z<2, 0<x<2 – полоса расположенная между прямыми x=0,x=2.
№2692.
, - прямые y=0, y=3 и все точки между ними.
№2693.
, , , , .
Парабола y2=1-2x и её внутренность.
№2695.
, , , .
Угол, образованный положительной частью действительной оси и лучом, выходящим из начала координат и образующим с положительным направлением действительной оси угол, равный радиана, а также точки, лежащие на сторонах этого угла.
Для того чтобы сходился (абсолютно сходился) ряд , необходимо и достаточно, чтобы сходились (абсолютно сходились) ряды и .
§79. Функции и функциональные ряды. Элементарные функции.
Функция в точке имеет предел C = A + i B, тогда и только тогда, когда функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции двух действительных переменных x и y, имеют в точке (x0,y0) пределы равные соответственно A и B.
Существуют ли пределы в точке z=0 функций, данных в задачах 2713 – 2716?
№2713
(нет)
№2714
(нет)
№2715
(нет)
№2716
(да)
№2717
В каких точках комплексной плоскости (Z) не существует предела функции (главное значение аргумента z)?
Ответ: во всех точках неположительной части действительной оси (т. к. при движении по часовой стрелке предел равен -π, а против часовой π).
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда обе функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции двух действительных переменных x и y, непрерывны в точке (x0,y0).
Функции exp z, sin z, cos z определяются с помощью равенств:
Функции exp z, sin z, cos z связаны равенствами:
носящими название формул Эйлера. Для этих функций справедливы также равенства:
для любых z1 и z2.
По определению гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом называются соответственно функции:
Комплексное число может быть записано в показательной форме:
(4)
№2747.
Использую формулу (4), представьте в показательной форме комплексные числа:
1) z=-1, |z|=1, arg z=π
3) z=-i, ,
5) z=1-i, ,
7) , ,
Все значения логарифма комплексного числа содержатся в равенстве
( ),
где - главное значение логарифма.
Для любых комплексных чисел и α по определению:
( )
(при z1=z2=z≠0, Ln 1=Ln z – Ln z, т. е. Ln 1 = 2k π i ( )
№2748. Найти все значения нижезаданных выражений:
1) ( )
3) ( )
5) ( )
7)
( , где α – действительное число)
8)