Теория игр. Основные понятия и определения.
Для анализа и выбора решений в конфликтных ситуациях применяется теория игр.
Игра – это упрощенная формализованная модель конфликтной ситуации. Суть игры сводится к однократному независимому выбору игроками своих действий, то есть стратегий из множества чистых и смешанных стратегий.
№1. Общие сведенья об играх.
Игры бывают:
Безколеционная (игроки не взаимодействуют);
Выпуклые (безколеционные с функцией выигрыша в виде множества в многомерном пространстве);
Деловые (это игры с имитационной моделью и взаимодействием игроков в виде диалога;
Динамические (несколько игроков реализуют стратегии в несколько ходов);
Кооперативные (игры, в которых участвуют несколько игроков и они собираются в коалиции);
Антагонистические (игры двух лиц с противоположными интересами);
Дифференциальные (антагонистические игры, в которых оба игрока управляют объектом, описываемым системой дифференциальных уравнений);
Матричные (антагонистически игры, в которых множество чистых стратегий обоих игроков конечны);
Игры на выживание (игра двух лиц состоящая из последовательности матричных игр, итогом является разорение одного из игроков).
№2. Управление в конфликтных ситуациях с использованием матрицы платежей.
Задача управления в конфликтной ситуации состоит в том, что бы выбрать такую стратегию (реакции на ситуацию) при которой управляемая система оказывалась бы в возможном более благоприятном положении даже при не благоприятных действиях противника.
Стратегией игрока называется совокупность правил, по которым он анализирует ситуацию и делает ходы от начала игры до ее завершения.
Исход игры можно записать в виде некоторого числа +1 выигрыш, -1 проигрыш, 0 ничья. Во время игры совершаются ходы. Их бывает 2 вида:
Личные (результат анализа ситуации одним игроком);
Случайные (результат того или иного случайного процесса).
Чаще всего анализируют конечные игры, то есть игры, при которых у каждого игрока есть лишь конечное число стратегий. Результаты конечной парной игры с нулевой суммой (одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая). Можно задавать матрицей строки и столбцы которой соответствуют разным стратегиям, а элементы соответствующей выигрыш одной стороны. эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.
|
B1…. |
Bn |
А1… |
a11 |
a1n |
Am |
am1 |
Amn |
Как правило величина выигрыша находится в пределах (λ;μ).
Стратегии, которые смешиваются для получения оптимальной стратегии, называются полезными. Решить игру означает найти пару оптимальных стратегий и цену игры.
Теория игр n x
Лекция №11 20.03.2012
Теория графов. Основные понятия и определения.
№1. Общие сведенья графах.
Фигура образованная совокупностью точек и линий является математически объектом называемом графом или не ориентированным графом.
Если ввести данный граф направление с помощью стрелок, обозначающих одностороннее движение, так что бы из любой точки х была доступна любая точка у, то мы получим ориентированный граф или орграф.
Будем определять орграф парой VA, где V – некоторое множество вершин орграфа;
А – множество упорядоченных пар элементов из V (дуг).
В реальном мире может существовать не один граф, а несколько графов. Граф связен если он состоит из единственной части или что эквивалентно если для каждой пар точек (х;у) цепь из линий соединяющих точки х и у. α – мост, соединяющий 2 части графа.
Мост – это линия, в связанном графе удаление которой превращает этот граф в несвязный.
Не каждая линия, соединяющая различные части графа, может являться мостом.
№2. Орграфы и наличие связей в них.
Связь орграфов может быть сильной или слабой, в зависимости от возможности достичь одну вершину из другой. Орграф называется сильно связанным или сильным, если для каждой пары вершин U и V, вершина U достижима из вершины V, и вершина V достижима из вершины U.
Орграф называется односторонне связанным или односторонним если для каждой пары вершин U и V хотя бы одна достижима из другой.
Каждый сильно связанный граф является одновременно и односторонне связанным, но не наоборот.
Орграф называется слабосвязанным или слабым, если каждая пара вершин U и V соединима таким образом.
№3. Знаковые графы.
Знаковым графом или орграфом называется структура с ребрами или дугами, к которым добавлен знак + или -. Знак пути, то есть перемещение между вершинами определяется как произведение знаков входящего в него дуг или ребер, если знак заменить на +1 и -1.
Для того, что бы собрание людей стало группой необходимо, что бы выполнялись следующие условия:
некоторая продолжительность существования;
наличие общей цели или целей;
развитие хотя бы начальной групповой структуры.
Для представления группы в виде знакового графа или орграфа необходимо обозначить взаимоотношения между членами группы виде плюсов, означающих симпатию, общение, общность взглядов, и минусов – антипатия, избегание, несогласие.
№4. Баланс.
Малая группа представляется ее знаковым графом и группа читается сбалансированной, если каждый цикл в ее знаковом графе положителен. Циклом называется замкнутая цепь U1, e1,U2,e2…Ut,et,Um,em в которой вершины и ребра различны.
Знаковый граф соответствующий сбалансированной группе называется сбалансированным. Знаковый граф сбалансирован тогда и только тогда когда его вершины можно разделить на два класса, так что каждое ребро внутри класса имеет знак + или -.Создание модели на основе графов сводится к построению несбалансированного графа, изменению одного или нескольких знаков нем и получении сбалансированного графа.
Лекция №13