Асимметрия и эксцесс.

С реди эмпирических распределений довольно часто встречаются асимметрия и эксцесс. Графически асимметрия выражается в виде скошен­ности вариационной кривой левее или правее центра распределения. В первом случае асим­метрия называется правосторонней или положительной, а во втором — левосторонней или отрицательной. Также встречаются островершинные и плосковершинные распределения. Островершинность кривой распределения вызывается чрезмерным накапливанием частот с вариантами, близкими к среднему значению, вследствие чего вершина вариационной кривой оказывается сильно поднятой вверх. В таких случаях говорят о положительном эксцессе распределе­ния. Плосковершинные (с двумя и более вершинами) кривые свидетельствуют о наличии у такого распределения отрицательного эксцесса. Асимметрия и эксцесс эмпирических распределений могут возникнуть вследствие действия на признак как систематических, так и случайных факторов. Поэтому для определения причин отклонения эмпирических распределений от нормальной кривой рассчитывают показатели асимметрии As и эксцесса Ex:

где s_x³, s_x⁴ – СКО. Предельная величина отрицательного эксцесса = -2. При отсутствии эксцесса Ex = 0, при отсутствии асимметрии As = 0.

Как и другие оценки генеральных параметров, показатели эксцесса и асимметрии являются величинами случайными и сопровождаются ошибками репрезентативности:

Нулевая гипотеза или предположение, что в генеральной совокупности показатели As и Ex равны нулю, опровергаются, если

Непараметрические критерии

При исследовании качественных биологических признаков или количественных, но для которых показано отсутствие распределения признаков выборки по нормальному закону или объем выборки очень мал, рассчитывают разнообразный набор мер положения и рассеяния. Центральное значение в такой выборке приобретает не средняя арифметическая, а медиана (Me), характеристикой рассеяния являются не дисперсия и СКО, а – верхний и нижний (1 и 3) квартили, 5 (2,5) и 95 (97,5) процентили и интерквартильный размах.

При сравнении двух выборок для проверки нулевой гипотезы применяют непараметрические критерии. Для выборок с попарно не связанными вариантами используют Х-критерий Ван-дер-Вардена, Т-критерий Уайта, U-критерий Манна-Уитни; при сравнении выборок с попарно связанными вариантами - критерий знаков (z), W-критерий Вилкоксона.

U-критерий Манна-Уитни относится к группе ранговых критериев и основан на следующих предположениях: исследуемые выборки являются независимыми, случайными с точки зрения распределения вероятностей и их распределения имеют одинаковую форму. Проверяется нулевая гипотеза: разница между медианами сравниваемых групп равна нулю. Сначала обе выборки объединяют и ранжируют по возрастанию в один общий ряд. Затем каждой варианте присваивается ранг (R) - порядковый номер того места, которое оно занимает в этом ряду. Одинаковым по величине вариантам присваивается один и тот же средний ранг, который находится как среднее арифметическое между такими вариантами. Например, после 10 ранга идут 2 одинаковые варианты, им обеим присваивается ранг 11,5 (11+12=23:2=11,5). Следующей варианте присваивается ранг 13. Отдельно для каждой выборки находят суммы рангов ∑R₁ ∑R₂ и определяют величины U₁ и U₂.

Из двух рассчитанных значений U выбирают меньшее и определяют значение z-критерия.

Нулевая гипотеза отвергается на выбранном уровне значимости, и различия между выборками признаются статистически значимыми, если рассчитанное значение z-критерия выходит за границы интервала (для =0,05) 1,96 z +1,96. В противном случае, нулевую гипотезу отбросить нельзя.