5. Компактные операторы. Альтернатива Фредгольма.

Отображение норма действ из вект. пр-ва Х в R будем называть нормой на Х если 1)||x||≥0  хХ ||x||=0 x=0; 2)||λx||=|λ|·||x||  хХ,  λК; 3) ||x+y||≤||x||+||y||

Векторное пространство Х с заданной на нем нормой называется нормированным пространством. нормированное пр-во явл. метрическим пр-вом. Метрика вводится след-м образом (х,у)=||x-y||. Проверим, что выполняются аксиомы метрики: 1)(х,у)=0  ||x-y||=0 x=y ||x-x||=0 (обратное очевидно); 2)очевидно ||x-y||=||y-x||; ||x-y||=||(-1)(y-x)||=|-1| ||y-x||= ||y-x||; 3)(х,у) ≤(х,z)+ (z,у). Полное нормированное пространство наз банаховым простр. (полное нормированное простр-во явл метрическим, то понятие полного нормированного пространства означает, что оно полное как метрич пр-во относительно метрики (х,у)= ||x-y||

Линейный оператор А:Е₁Е₂ (Е₁,Е₂ банаховы пр-ва) наз компактным или вполне непрерывным, если он всякое ограниченное мн-во в пр-ве Е₁ переводит в предкомпактное мн-во в пр-ве Е₂. Мн-во в топологическом пр-ве явл предкомпактным если оно содержится в компактном мн-ве или его замыкание компактно.

Теорема: Оператор А:Е₁Е₂ (Е₁,Е₂ банаховы пр-ва) явл компактным т.и т.т., когда из  ограниченной последовательности х_nх_nЕ₁ можно выделить подпоследовательность х_к:последовательность Ах_nk сходится в Е₂.

Теорема (Альтернатива Фредгольма): Пусть Е – банахово пр-во К- компактный оператор действующий из Е в Е. Рассмотрим уравнение х-kх=у(1), х-kх=0(2), f-k^*f=g(3), f-k^*f=0(4),где х – неизвестный вектор в Е, у- известный вектор в Е, f – неизвестный вектор в Е^*, g - известный вектор в Е^*, к^* - сопряженный оператор к К, тогда 1) уравнение (1) разрешимо и причем имеет единственное решение для уЕ  однородное ур-е (2) имеет только нулевое решение, 2) ур-е (1) разрешимо для тех и только тех уЕ, для которых f(у)=0 f удовлетворяющего уравнению (4), 3) уравнение (3) и (4) имеют одинаковое и при том конечное число линейно независимых решенией.

4