1.4. Дополнительные показатели распределения:
моменты и квантили.
Наиболее важные свойства распределения случайной величины (исследуемого признака) определяются основными числовыми характеристиками (параметрами), входящими в функцию распределения и в функцию плотности распределения и рассмотренными ранее. Для более детального изучения распределений часто используют дополнительные параметры.
Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами (среднее и дисперсия). Для более подробного изучения также прибегают к дополнительным параметрам. Первая группа таких дополнительных параметров, непосредственно обобщающая понятие дисперсии - это моменты.
Моментом распределения называется средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений частных значений признака от определенной исходной величины.
Моменты рассчитываются по обобщенной формуле
.
(1.49)
где
- величина, от которой определяются
отклонения,
- степень отклонения (порядок момента).
Он может принимать любое целое
положительное значение.
В зависимости от того, что принимают за величину , различают три вида моментов:
начальные
моменты
получают
при
;
(1.50)
центральные
моменты
получают
при
;
(1.51)
условные
моменты
получают
при
,
не равной средней арифметической и
отличной от нуля
.
(1.52)
В статистической практике пользуются моментами первого, второго, третьего и четвертого порядков. Рассматривая формулы моментов, можно увидеть, что начальный момент первого порядка представляет собой среднее арифметическое и используется как параметр центра распределения. Центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию и служит основной мерой рассеяния признака. Центральный момент третьего порядка равен нулю в симметричном распределении и используется для определения показателя асимметрии. Центральный момент четвертого порядка применяется при вычислении показателя эксцесса. Начальные моменты второго, третьего и четвертого порядков так же, как и условные моменты, самостоятельного значения не имеют, а используются для упрощения вычисления центральных моментов.
Вторая группа параметров характеризует отдельные значения функции распределения. К ним в первую очередь относятся квантили.
Квантилем порядка распределения непрерывной случайной величины с функцией распределения называется решение уравнения
.
(1.53)
Иными
словами, квантиль
есть такое
действительное значение случайной
величины
(число), что
.
Вероятность
,
задаваемая в процентах, дает название
соответствующему квантилю; например,
называется
30%-ным квантилем.
Квантили
стандартного нормального распределения
(т.е. распределения с параметрами
,
)
обозначаются через
;
их легко найти непосредственно из
статистических таблиц. Если
,
то, подбирая такое
,
для которого нормированная функция
Лапласа
,
мы найдем, что
.
Если же
,
то подбирают такое
,
для которого
,
и тогда
,
например, 40%-ный квантиль
;
85%-ный квантиль
.
Для удобства пользования некоторые
часто употребляемые квантили стандартного
нормального распределения приводятся
в статистической литературе.
Понятие
квантиль используется не только для
нормального, но и для большинства
встречающихся распределений. Квантиль
общего нормального распределения с
параметрами
и
выражаются через квантиль
стандартного распределения по формуле
(1.54)
Например,
40%-ный квантиль для нормального
распределения с параметрами
,
равен
.
Если
известны два квантиля
и
,
то
.
(1.55)
На
этом равенстве и основывается
использование квантилей. Некоторые
часто встречающиеся квантили носят
специальные названия. Так, квантили
и
называются квартилями,
квантили
,
,
... ,
- децилями,
квантили
,
,
- процентилями.
Наиболее
важное значение имеет квантиль
,
называемый медианой
распределения.
Квантили
и
называются симметричными. Для симметричного
относительно нуля распределения всегда
.
Статистический анализ одномерных массивов (одномерных распределений) включает, также, статистические проверки гипотез, сущность и правила проведения которых не рассматриваются в данном курсе.