2. Функции многих переменных.

Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

Определение: Окрестностью точки М₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа  > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

также верно и условие .

Записывают:

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1. Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2. Не существует предел .

3. Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …)  f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …)  f(x, y, …)

тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки   [m, M] существует точка

N₀(x₀, y₀, …) такая, что f(x₀, y₀, …) = .

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа  существует такое число  > 0, что для любых двух точек (х₁, y₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение непрерывной функции по Гейне. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к пределу , соответствующая последовательность значений функции сходится к пределу .

Определение непрерывной функции по Коши. Функция называется непрерывной в точке , если для любого положительного существует положительно число такое, что для всех , для которых , справедливо неравенство .

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует такое, что всюду в пределах окрестности точки , функция имеет тот же знак, что .

Доказательство. Рассмотрим сначала случай . Так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа существует положительное число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству будет выполнятся неравенство или

Из левого неравенства находим для всех , что и требовалось доказать.

Пусть теперь . Рассмотрим функцию . Тогда и согласно доказанному, существует такая – окрестность , что в каждой точке этой окрестности или . Теорема 5.2 доказана.

Аналогичная теорема справедлива и для функции, которая является непрерывной в точке только справа или только слева.

Для любого полусегмента будем называть правой -полуокрестностью точки , а полусегмент – левой -полуокрестностью точки .

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функция определена в некоторой правой (левой) полуокрестности точки , непрерывна в точке справа (слева) и её значение отлично от нуля, то найдётся такое положительное число , что функция всюду в правой (левой) -полуокрестности точки имеет тот же знак, что и в точке .

Для доказательства этой теоремы нужно дословно повторить доказательство теоремы 5.2, при этом термин окрестность точки заменить на термин правая (левая) -полуокрестность точки .

Теорема о прохождении через нуль непрерывной на сегменте функции.

Пусть функция непрерывна на сегменте и её значения на концах этого сегмента и являются числами разных знаков, тогда внутри сегмента найдётся такая точка , в которой .

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что .

Обозначим через . Очевидно, E непустое ограниченное множество, так как и В силу теоремы 2.1 §2 гл. 5 у множества существует точная верхняя грань . Заметим, что не может совпадать с концами сегмента . Действительно, если , то в силу теоремы 5.2 ^’ , существует правая -полуокрестность точки , такая, что для всех . Следовательно, существует точка , такая, что , чего быть не может. Аналогично, из свойств непрерывных функций и определения точной верхней грани, следует, что

Докажем, что . Действительно, если , то в силу теоремы 5.2 найдется -окрестность точки , в пределах которой будет иметь определенный знак, что невозможно, поскольку по определению точной верхней грани найдется хотя бы одно значение из полусегмента , для которого , а для любого значения из интервала справедливо неравенство . Теорема доказана.

Теорема прохождение непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение

Пусть функция непрерывна на сегменте , причём . Тогда для любого значения , заключённого между числами и , на сегменте найдётся точка , такая что .

1. Если , то и в качестве можно взять точку или точку .

2. Если совпадает с или с , то в качестве можно взять или или соответственно.

3. . Без ограничения общности будем считать, что . Пусть - любое число, удовлетворяющее неравенству . Рассмотрим функцию . Очевидно, функция непрерывна на сегменте . Кроме этого и

. Тогда, согласно теореме 5.3 существует такая точка внутри сегмента, что , или . Теорема 5.4 доказана.

Первая теорема Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом сегменте.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т.е. существуют точки , сегмента такие, что