Решение:

Для вычисления среднего арифметического и стандартного отклонения составим и заполним таблицу.

Месячная зар.плата		Число сотрудников, fi	Середины интервалов, xi
300	320	10	310	3100	-44	1936	19360
320	340	20	330	6600	-24	576	11520
340	360	30	350	10500	-4	16	480
360	380	25	370	9250	16	256	6400
380	400	10	390	3900	36	1296	12960
400	420	5	410	2050	56	3136	15680
		100		35400			66400

Вычислим среднее арифметическое и стандартное отклонение:

Построим теоретическое нормальное распределение и сравним его с эмпирическим при помощи критерия согласия Пирсона (хи-квадрат). Выбор этого критерия обусловлен большим числом выборки (n = 100).

Критерий согласия Пирсона вычисляется по формуле:

,

где и - эмпирические и теоретические частоты соответственно.

Вычислим теоретические частоты , для этого построим таблицу.

Месячная з/плата	Число сотрудников, fi	Середины интервалов, xi			Плотность нормального распределения,
300-320	10	310	-44	-1,71	0,092869	8
320-340	20	330	-24	-0,93	0,258564	20
340-360	30	350	-4	-0,16	0,394165	31
360-380	25	370	16	0,62	0,329005	26
380-400	10	390	36	1,40	0,150363	12
400-420	5	410	56	2,17	0,037626	3
	100					100

Вычислим

По таблице критических точек Пирсона с уровнем значимости и числом степеней свободы , где к - число интервалов определим .

Т.к. - следовательно, данные наблюдения согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Ответ: ,

,

данные наблюдения подчинены нормальному закону распределения.

7. В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: =1600, s =210. В предположении о нормальном законе найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800.

Решение:

Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал воспользуемся формулой:

Ответ:

8. Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс. у.е.) составил: 11, 16, 21, 18, х₅. Учитывая, что х =17, найти выборочную дисперсию s².

Решение:

Воспользуемся формулами для выборочного среднего и выборочной дисперсии:

,

Имеем:

Отсюда получаем . Тогда

Ответ:

9. По данным 17 сотрудников фирмы, где работает 210 человек, среднемесячная заработная плата составила 310 у.е., при s = 71у.е. Какая минимальная сумма должна быть на счету фирмы, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать выдачу заработной платы всем сотрудникам?

Решение:

Требуется оценить математическое ожидание (a) по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью 0,98. Для этого воспользуемся формулой:

Из соотношения 2Ф(t) = 0,98  получаем Ф(t) = 0,49. По таблице  Лапласа найдем t : t = 2,33.

Вычислим точность оценки:

Получаем доверительный интервал:

Для определения минимальной суммы, необходимой для выдачи заработной платы с вероятностью 0,98 надо верхнюю границу доверительного интервала умножить на количество сотрудников в фирме:

у.е.

Ответ: 73525,2 у.е.

10. С целью размещения рекламы опрошено 410 телезрителей, из которых данную передачу смотрят 160 человек. С доверительной вероятностью 0,91 найти долю телезрителей, охваченных рекламой в лучшем случае.

Решение:

По условию n = 410, m = 160, р = 0,91. Относительная частота

Т.к. n>100,  то для нахождения доверительного интервала для оценки вероятности по относительной частоте, воспользуемся формулой:

Из соотношения 2Ф(t) = 0,91 получаем Ф(t) = 0,455. По таблице Лапласа находим t = 1,70.

 Окончательно получаем,

Таким образом, в лучшем случае, рекламой охвачено 0,4309*100% = 43% телезрителей.

Ответ: 43%.

11. Согласно техническим данным автомобиль должен расходовать на 100 км пробега не более 8 л бензина. Проведено 10 испытаний, по результатам которых найдено: =10,1 л, s =1,1 л. Проверить справедливость рекламы на уровне значимости α = 0,05.

Решение:

Необходимо решить вопрос: значимо ли отличие выборочного среднего значения (10,1 л) от среднего значения (8 л) генеральной совокупности, из которой взята выборка, или наблюдаемое различие является случайным?

Применим t-критерий Стьюдента, который основан на предположении о нормальности распределения генеральной совокупности.

Гипотеза Н₀:  = 8 – среднее значение  генеральной совокупности, из которой получена выборка, равно данному значению, известному из предыдущих испытаний (реклама справедлива).

Гипотеза Н₁: 8 (реклама не достоверна).

Определим значение t-критерия по формуле:

По таблицам находится t_крит – критическое значение t-критерия при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы  = n –1 = 10 - 1 = 9.

Вывод: т.к. , то выборочное среднее значимо отличается от  на уровне значимости  = 0,05, и в этой ситуации отклоняется гипотеза Н₀, т. е. считается, что реклама не достоверна.

Ответ: на уровне значимости  = 0,05 реклама не достоверна.

12. Фирма утверждает, что контролирует 40% регионального рынка. Проверить справедливость этого утверждения при α =0,05, если из 310 опрошенных услугами этой фирмы пользуются 110 человек.

Решение:

По условию n = 310, m = 110, р = 1 - 0,05 = 0,95. Относительная частота

Т.к. n>100,  то для нахождения доверительного интервала для оценки вероятности по относительной частоте, воспользуемся формулой:

Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получаем Ф(t) = 0,475. По таблице Лапласа находим t = 1,96.

Окончательно получаем,

Заявленные фирмой 40% контроля над рынком попадают в доверительный интервал. Следовательно, утверждение справедливо.

Ответ: утверждение справедливо.

13. Сравнить существующий технологический процесс по себестоимости: n₁ = 6, =14, = 2 с новым процессом: n₂ = 9, =10, = 3 на уровне значимости α = 0,05. Целесообразно ли вводить новую технологию?

Решение:

Для решения данной задачи необходимо сравнить две средние нормально распределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых неизвестны, но предполагаются одинаковыми. В этой задаче речь идет о малых выборках, так как n₁ = 6 и n₂ = 9 (объем < 30). Выборки - независимые, поскольку из задачи видно, что они извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н₀: - генеральные средние двух нормально распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) равны (применительно к условию данной задачи – себестоимость существующего и нового технологического процессов - одинакова, т. е. использование нового технологического процесса не позволяет снизить себестоимость).

Н₁: - генеральная средняя для X больше, чем генеральная средняя для Y (применительно к условию данной задачи – себестоимость существующего процесса выше, чем нового, т. е. использование нового технологического процесса позволяет снизить себестоимость).

Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.

Приступать к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально – распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями можно лишь в том случае, если генеральные дисперсии равны. В противном случае, данная задача в теории неразрешима.

Поэтому, прежде чем проверять эту гипотезу, проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы, согласно условию задачи:

Н₀: D(Х) = D(Y) - генеральные дисперсии двух нормально распределенных совокупностей равны.

Н₀: D(Х) < D(Y) - генеральная дисперсия для X меньше генеральной дисперсии для У. Выдвигаем правостороннюю конкурирующую гипотезу, так как исправленная выборочная дисперсия для X меньше, чем исправленная выборочная дисперсия для Y.

Так как конкурирующая гипотеза правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.

В качестве критерия для сравнения двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей используется случайная величина F - критерий Фишера-Снедекора .

Его наблюдаемое значение (f_набл) рассчитывается по формуле:

,

Критическое значение (f_кр) следует находить с помощью таблицы распределения Фишера- Снедекора по уровню значимости и числу степеней свободы k₁ и k₂.

По условию = 0,05; число степеней свободы найдем по формуле k₁ = n₁ - 1; k₂ = n₂ - 1,

где k₁ - число степеней свободы большей (по величине) исправленной дисперсии; k₂ - число степеней свободы меньшей (по величине) исправленной дисперсии; n₁ - объем выборки большей (по величине) исправленной дисперсии; n₂- объем выборки меньшей (по величине) исправленной дисперсии.

Определим f_кр по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы k₁ = 9-1= 8 и k ₂ = 6-1= 5:

f_{кр (0,05; 8; 5)} = 4,8.

f_набл < f_кр следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.

Следовательно, можно приступить к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных совокупностей.

Найдем t_набл:

Найдем t_кр по таблице распределения Стьюдента по уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы k = n₁ + n₂ –2 = 6 + 9 – 2 = 13.

t_{кр (0,05;13)} = 2,16

t_набл > t_кр следовательно, на этом уровне значимости отвергаем нулевую гипотезу.

По имеющимся данным на уровне значимости = 0,05 принимаем гипотезу о том, что себестоимость существующего технологического процесса выше, чем себестоимость нового процесса.

Ответ: На уровне значимости = 0,05 утверждаем, что вводить новую технологию целесообразно.

14. Из 210 задач по теории вероятностей студенты решили 120 задач, а из 320 задач по математической статистике они решили 170 задач. Можно ли на уровне значимости α = 0,05 утверждать, что оба раздела усвоены одинаково?