2) Перевод целого числа из любой системы в десятичную

Десятичное число можно представить в виде суммы единиц, десятков, сотен и т.д. (т.е. степеней 10), умноженных на соответствующие коэффициенты

456₁₀ = 4·10² + 5·10¹ + 6·10⁰ = 400 + 50 + 6 = 456

По аналогии разлаживается числа других систем счисления.

Пример 3 – Перевести в десятичную систему число 1С8

1² С¹ 8⁰ = 1·16² + 12·16¹ + 8·16⁰ = 256 + 192 + 8 = 456

3) Для перевода числа из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот, нужно отсчитывать справа налево по 4 разряда – тетрад двоичного числа и записывать каждую группу разрядов с помощью символов из таблицы 3.1, в которой представлены соотношения между числами в различных системах счисления.

1С8₁₆ = 0001 1100 1000

1 12 8

Недостатком шестнадцатеричной системы является ее избыточ­ность для чисел 7 и менее (недоиспользуются многие двоичные разряды). Для устранения этого недостатка используют восьмеричную систему счисления, которую можно затем за­писать в двоичном коде с использованием для каждой циф­ры только трех разрядов – триад.

Для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную и наоборот, нужно отсчитывать справа налево по три разряда двоичного числа и записывать каждую группу из трех разрядов с помощью символов 0...7.

710₈ = 111 001 000

7 1 0

4) В цифровых вычислительных системах используют также комби­нированную, десятично-двоичную систему счисления, облегчающую запись больших чисел с применением двоичного кода. В этом слу­чае каждый разряд десятичного числа записывают двоичным ко­дом, используя для этого соответствующие тетрады, т.е. четырех­разрядные двоичные элементы.

159₁₀ = 0001 0101 1001

1 5 9

Самостоятельная работа — Арифметические основы ЭВМ

Произведите необходимые операции над числами в различных системах счисления:

- переведите десятичное число в иную систему счисления;

- проверьте полученные результаты (выполните обратный перевод);

- сложите числа в указанной системе счисления.

Таблица 3.2 — Варианты заданий

№ варианта	Перевод числа		Сложение чисел
	Десятичное число	Иная система счисления	Слагаемые	Система счисления
0	1000	двенадцатеричная	+2121 1212	троичная
1	487	пятнадцатеричная	+1234 211	пятеричная
2	4000	четырнадцатеричная	+2345 364	семеричная
3	285	четверичная	+23A6 975	одинадцатеричная
4	5000	семнадцатеричная	+7775 887	девятеричная
5	854	шестеричная	+1FH C12	восемьнадцатеричная
6	255	пятеричная	+51FD А17	семнадцатеричная
7	179	троичная	+40B 8C1	четырнадцатеричная
8	2940	восемьнадцатеричная	+3122 1232	четверичная
9	723	семеричная	+7B19 5A1	двенадцатеричная

Единицы измерения цифровой информации

Бит (от английского "BInary digiT" ― двоичная цифра) принимает только два значения: 0 или 1. Можно закодировать логическое значение «да»» или «нет», состояние «включено» или «выключено», состояние «открыто» или «закрыто» и т.п.

Группа из восьми бит называется байтом, например 10010111. Один байт позволяет кодировать 256 значений: 00000000 = 0, 11111111 = 255.

Бит ― наименьшая единица представления информации.

Байт ― наименьшая единица обработки информации.

Два взаимосвязанных байта называется словом, 4 байта ― двойное слово, 8 байт ― учетверённое слово.

Представление двоичных чисел в ЭВМ

В вычислительных машинах применяются две формы представ­ления двоичных чисел:

- естественная форма или форма с фиксированной запятой (точ­кой);

- нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел по­ложением запятой, отделяющей целую часть от дробной.

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях. Диапазон значащих чисел N в системе счисления с основанием q при наличии m разрядов в целой части и s разря­дов в дробной части числа (без учета знака числа) имеет вид

q^-s ≤ N ≤ q^m при q = 2, m = 10 и s = 6 0,015 < N< 1024

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сет­ки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогатель­ная и только для целых чисел.

С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вто­рая - порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено в виде

N = ±Mq^±p,

где М ― мантисса числа (|M| < 1); q ― основание системы счисле­ния; р ― порядок числа (целое число).

Н ормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ. При q = 2, m = 10 и s = 6 диапазон чисел простирается примерно от 10^-19 до 10¹⁹.

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак «+», код 1 - знак «-».

Машинные коды

Для алгебраического представлений чисел (т.е. для представле­ния положительных и отрицательных чисел) в машинах исполь­зуются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом; дополнительный код обеспечивает более быстрое выпол­нение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаще именно он.

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (нуль или единица) перед его старшим числовым разрядом.

Пример 4

A₁₀ = +10; А₂ = +1010; [А₂]_п = 01010;

В₁₀ = -14; В₂ = -1110; [В₂]_п = 11110. [Я₂]₀= 10011. Я₂=-1100; [Я₂]₀= 10011. Я₂ = -ШО; [5₂]_п=11110.

Обратный код двоичного числа образуется по следующему правилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их пря­мым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы – нулями.

Пример 5

A₁₀ = +4; А₂ = +100; [А₂]_п = [А₂]_о = 0100;

В₁₀ = -12; В₂ = -1100; [В₂]_о = 10011.

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода чис­ла с единицей младшего разряда.

Пример 6

A₁₀ = +18; А₂ = +10010; [А₂]_п = [А₂]₀ = [А₂]_д = 010010;

В₁₀ = -12; В₂ = -1100; [В ₂]_д = [В₂]_о +2⁰= 10011 + 1 = 10100.

Использование обратного и дополнительного кодов заменяет операцию вычитания операцией сложение. Это позволяет производить арифметические операции, используя только сумматоры, т.е. упростить аппаратные средства арифметически – логического устройства.

Правила двоичной арифметики

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 10 + 1 = 11

В двоичной системе счисления сложение де­лается точно так же, как и в десятичной. Только нужно помнить, что в этой системе каждый разряд может принимать лишь два значения: либо 0, либо 1. Точно так же, как и в десятичной системе, складываем числа поразрядно, начиная с младшего разряда. При сложении двух единиц мы получим ноль в этом разряде и единицу переноса в следующий разряд.

11001110

10000110

101010100

Умножение тоже делается аналогично умножению в десятичной систе­ме - столбиком. При этом умножение сводится к сдвигу влево и сложению, полученных сдвигом чисел. Точно также деление в двоичной системе сводится к сдвигу и вычитанию. Это важно при построении вычислительных устройств. Именно поэтому многие про­стые микропроцессоры не имеют в составе своих команд, команд ум­ножения и деления. Но обязательно, каждый процессор имеет коман­ды сдвига и сложения (вычитания). При необходимости выполнения операций умножения либо деления и отсутствии данных команд у процессора эти действия выполняются, используя команды сдвига сложения и вычитания.

Правила логической арифметики

Основные логические операции: И (AND), ИЛИ (OR), NOT (НЕ), исключ. ИЛИ (XOR)сс

1111 0011 1010 0000 1010 1111

AND OR XOR

0011 1111 0000 1111 0000 1111

0011 0011 1010 1111 1010 0000