- •Билет №19
- •2.(4) Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы.
- •3.(18).Методика введения понятия первообразной.Площадь криволинейной трапеции.
- •Методика введения понятия интеграла. Приложения интеграла
- •3.(????????)Методика введения понятия интеграла.Приложения интеграла
- •Тематическое планирование темы
- •Целеполагание
Билет №19
1.(20) . Плоскость Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
Геометрия Лобачевского основана на аксиомах групп I-IV абсолютной геометрии и на аксиоме Лобачевского V*.
Группа I. Аксиомы принадлежности.
Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, выражаемые словом «принадлежит» (или «лежит на», «проходит через»). Группа I содержит следующие восемь аксиом.
10. Для любых двух точек А, В, существует прямая а, проходящая через эти точки.
20. Для любых двух точек А, В, существует не более одной прямой, проходящей через эти точки.
30. Любая прямая содержит по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
40. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, существует плоскость, проходящая через эти точки. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.
50. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через эти точки.
60. Если две точки A и В прямой а лежат в плоскости , то каждая точка прямой а лежит в плоскости .
Группа II. Аксиомы порядка.
10. Для любых точек А, В, С , лежащих на одной прямой, если В лежит между А и С, то А, В, С различны и В лежит между С и А.
20. Для любых точек А, В существует точка С, лежащая на прямой АВ такая, что В лежит между А и С.
30. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
40(аксиома Паша). Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, а – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.
Группа III. Аксиомы равенства.
10. Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ = А'В'.
20. Если А'В' = АВ и А"В" = АВ, то А'В' = А"В".
30. Пусть итмеется 2 отрезка АВ и ВС, не имеющих общих внутренних точек. Если АВ = А'В' и ВС = В'С, причем т. лежит между , то .
40. Пусть А, В, С — три точки, не. лежащие на одной прямой, и А', В', — тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ=А'В', АС = А'С, , то .
Группа IV. Аксиомы непрерывности.
10. (аксиома Архимеда). Для любых двух отрезков АВ и CD существует такое натуральное число n, что .
20. (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков, из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CD найдется натуральное число п, такое, что АпВп < CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
Аксиоме Лобачевского:
V*. Пусть а — произвольная прямая и А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.
Плоскость Лобачевского в модели Клейна изображается в виде внутренности круга, причем прямые изображаются хордами. Пересекающиеся прямые изображаются пересекающимися хордами. Если общая точка будет стремиться по одной из прямых к бесконечности, то параллельные прямые будут изображаться хордами, общая точка которых принадлежит абсолюту (ограничивающей внутренность круга окружности). Сверхпараллельные прямые в модели изображаются хордами, которые будучи продолжены пересекутся в точке, принадлежащей внешней области абсолюта.
П учок прямых I рода при данном отображении переходит в совокупность хорд, пересекающихся в общей точке, принадлежащей внутренности абсолюта (рис. 1). Пучок прямых II рода, т.е. прямых, параллельных друг другу в данном направлении, переходит в совокупность хорд, пересекающихся в некоторой точке абсолюта (рис. 2). Пучок прямых III рода отображается в совокупность хорд, пересекающихся в некоторой точке вне абсолюта (рис. 4). Точки абсолюта называются бесконечно удаленными точками и точки вне абсолюта — идеальными точками плоскости Лобачевского. Поэтому пучки прямых II и III родов наз. иногда пучками с бесконечно удаленными или соответственно идеальными центрами.
Ось пучка прямых III рода явл. полярой полюса – своего идеального центра. В самом деле, допустим, что ось пучка не является полярой идеального центра.
Предположим, например, что она не проходит через точку (рис. 4) пересечения поляры точки Р с абсолютом. Тогда на плоскости Лобачевского будет существовать прямая СС1, одновременно перпендикулярная и параллельная к прямой СВ, что невозможно.
Перенося по отображению во внутренность абсолюта основные понятия отображаемой плоскости Лобачевского, в итоге получим модель Клейна.
Параллельные прямые на плоскости Лоб-го. Пр.АВ наз. параллельнойпр.СD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки P и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD (рис.).
Д ве прямые на плоскости Лобачевского наз. расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны.