2.7. Нетто-премия

Итак, показано, что нетто-премия, обеспечивающая безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии, рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон. Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой разности к рисковой премии – относительной рисковой надбавкой.

Пример 19. Индивидуальный иск принимает 3 значения: 0, 1, 4 у.е. с вероятностями: 0.9965, 0.0030, 0.0005 соответственно. Найти нетто-премию.

Среднее значение и дисперсия индивидуального иска равны: М(Х)=00.996510.0030+40.0005=0.0050, D(X)=1²0.0030+4² 0.0005 + 0 – 0.005²  0.011, S(X)  0.105

Тогда при условии обеспечения 95% надежности с использованием нормальной аппроксимации получим: П0 = М(Х) = 0.005, t(0.95) = 1.645, если число договоров N = 10000, то П = П0 + tS(X)/( ) = 0.005 + 1.6450.105/100 = 0.0067. Тогда относительная надбавка равна: (0.0067 – 0.005) / 0.005 = 34% .

2.8. Переход от единовременной рисковой премии к периодической

Проиллюстрируем на числовом примере основные положения принципа эквивалентности взаимных обязательств страховщика и страхователя.

Пример 20. Пусть заключается договор на один год о страховании от пожара. Вероятность пожара в течение года оценена как 0.04, а страховая сумма составляет 25 000 условных единиц.

Тогда в среднем страховщик должен выплатить эту сумму с р=0.04 или 0 с вероятностью q=0.96 . Следовательно, средняя выплата составит 1000 у.е. Это и есть современная цена риска страховщика. Поэтому единовременная рисковая премия (обеспечивающая эквивалентность рисков сторон) равна П=Sp=1000.

Если клиент согласен внести эту сумму немедленно, то актуарные расчеты закончены, можно заключать договор. Но часто клиент предпочитает оплачивать страховку поэтапно (в рассрочку, периодически), например, в начале каждого квартала. Тогда необходимо найти квартальную нетто-премию "п".

В простейшем варианте фиксируется номинальный размер этой премии и рассматривается поток из четырех платежей, (в начале каждого квартала), эквивалентный (при известной процентной ставке i) найденной ранее единовременной премии. Считаем, что выплачиваемая страховая сумма не меняется во времени из-за изменения цены денег (но возможен и договор с учетом указанного фактора).

При изучении курса «Основы финансовой математики» в разделе «Рента» данная задача подробно анализируется для детерминированного процесса. В банковском деле предполагаются детерминированными потоки поступлений и выплат (по срокам и величине) поскольку отклонения караются штрафами. В страховом бизнесе ситуация несколько иная. Если страховщик не получил единовременного взноса, то у него нет полной уверенности в том, что он получит всю оговоренную сумму взносов.

Если страховой случай наступил ранее очередного взноса, то клиент освобождается от всех дальнейших взносов, а компания обязана выполнить свои обязательства. Возникает элемент случайности, что приводит к модификации используемого аппарата ренты. Поэтому во избежание разорения страховщик должен учесть возможность такого варианта.

Пример 21. В рассматриваемом примере стороны договорились исходить из условия, что i=20% в год с ежеквартальным начислением процентов. Это означает 5% квартальную ставку. Если предположить независимость вероятности возникновения пожара от времени года, то вероятность пожа­ра в течении года в 0.04 означает для каждого квартала вероятность 0.01 (пренебрегая различием числа дней в кварталах).

Следовательно, только первый взнос компания получит с вероятностью 1 (без первого взноса нет ответственности). До второго взноса пройдет один квартал, за который случай произойдет с вероятностью 0.01 и не произойдет (тогда компания получит и второй взнос) с вероятностью 0.99. Рассуждая аналогично, обнаружим, что вероятность получения компанией каждого следующего взноса уменьшается на 0.01.

Кроме того, современная цена каждого следующего взноса уменьшается в (l+i)=l/v раз. Это позволяет составить уравнение:

1000 = п + п0.99/1.05 + п0.98/1.05² + п0.97/1.05³ = п3.67. Отсюда: п = 272.5, а не 250. Номинальный суммарный взнос 1090.

Отметим, что без учета вероятностей поступления каждого очередного взноса уравнение имело бы вид:

1000 = п (1 + v + v² + v³) = п (1 – v ⁴ )/(1 – v) = п3.723, тогда n = 268.6, несколько меньше, а номинально собранные взносы 1074.4.

Относительная погрешность: (1090 –1074.4)71074.4 = 0.0145 или 1.5%. Компания идет к разорению.

Отметим, что и современная цена номинально внесенных 1090 у.е. составляет не 1000, а 272.5 (l–v⁴)/(l–v) = 272.53.723 = 1014.6, т.е. может показаться, что компания пытается взять с клиента лишние 1.5%, но это не так. Имеет место «самострахование компании» от риска недополучения взносов, обеспечивающих эквивалентность обязательств.

Продолжим анализ равномерного распределения вероятности возникновения страхового случая (для простоты изложения) и рассмотрим некоторые модификации договора и актуарное обоснование этих изменений.

Пример 22. В договоре предусмотрено, что если страховой случай произошел, и к этому моменту клиент внес не все периодические премии, то страховщик удерживает из выплачиваемой суммы все невнесенные премии. Это означает, что страховщик гарантирует себе получение всех премий. Естественно, такое условие должно отразиться на величине периодических страховых взносов, точнее, привести к их снижению.

Итак, страховая сумма S=25000, Р(год)=0.04, Р(кварт)=0.01, Q(год)=l–P=0.96. Страховой случай может не произойти вообще или произойти в любом из 4-х кварталов с равной вероятностью. Составим вспомогательную таблицу.

Квартал	Вероятности	Получено взносов		Выплачено возмещений
		номинал	дисконт	номинал	Дисконт
1	0.01	п	п	S–3п	S–3п
2	0.01	2п	п+пv	S–2п	(S–2п)v
3	0.01	3п	п+пv+пv2	S–п	(S–пп)v2
4	0.01	4п	п(1+v+v2+v3)	S	Sv3
0	0.96	4п	п(1+v+v2+v3)	0	0

В имущественном страховании возмещение не всегда дисконтируется, поэтому в данном примере мы не учитываем последний столбец, он будет использован в следующем примере. Составляем балансовое уравнение (сумма всех дисконтированных взносов равна сумме всех номинальных возмещений):

(п–(S–3п))0.01+((п+пv)–(S–2п))0.01+((п+пv+пv²)–(S–п))0.01+ +(п(l+v+v²+v³)–S)0.01 + (п(l+v+v²+v³)-0)0.96 = 0;

0.01((4п–S)+(Зп+пv–S)+(2п+пv+пv²–S)+(п(l+v+v²+v³)–S)) +0.96п(l+v+v²+v³) = 0;

0.01 (10п+3пv+2пv²+пv³–4S) + 0.96n (l+v+v²+v³) = 0;

п((0.1+0.96)+v(0.03+0.96)+v²(0.02+0.96)+v³(0.01+0.96))=0.04S;

п(1.06 + 0.99/1.05 + 0.98/1.05² +0.97/1.05³) = 0.0425000 = 1000,

п3.73 = 1000, п= 1000/3.73 = 268.1,

что несколько отличается от ранее полученного значения 268.6. При всей незначительности этого различия следует признать, что это – следствие применения другой методики расчета премии.

Пример 23. Разумеется, может возникнуть вопрос о правомерности раз­личного подхода к взносам (которые дисконтируются) и возмещениям (которые в большинстве случаев на практике не дисконтируются). В прин­ципе, не запрещается учитывать в договорах и изменение цены возмеще­ния. Например, в страховании жизни возмещение всегда дисконтируется. Рассмотрим это на примере. Для этого используем последний столбец со­ставленной выше таблицы, соответственно изменится балансовое уравне­ние:

((п–(S–3п))+((п+пv)–(S–2п)v)+(п(l+v+v²)–(S–п)v²)+(п(l+v+v²+v³)–Sv³))0.01+ + (п(l+...+v³)–0)0.96=0;

0.01((4п–S)+(п+3пv–Sv)+(п+пv+2пv²–Sv²)+(п+пv+пv²+пv³–Sv³))+ +п(l+...+v³)0.96= 0;

0.01(7п+5пv+3пv²+пv³ –S(l+...+v³)) + 0.96п(l+...+v³) = 0;

п((0.96+0.07) +v(0.05+0.96) + v²(0.03+0.96) + v³(0.01+0.96)) –0.01S(l+...+v³) = 0;

п(1.03 +1.01/1.05 + 0.99/1.05² + 0.97/1.05³) = 0.01S(1 + 1/1.05 + 1/1.05² + 1/1.05³);

п(1.03+0.96+0.90+0.84)=0.01S(1+0.95+0.91+0.86); п = 0.01S (3.72/3.73)  0.01S = 0.0125000 = 250.

Неточность объясняется накоплением вычислительных погрешно­стей. Результат вполне предсказуем, если цена денег не меняется, а стра­ховщик обязательно получает все взносы.

Пример 24. Естественно, результат зависит от закона распределения веро­ятности возникновения страхового случая во времени. Если в этом примере время до наступления случая распределено по экспоненциальному закону, то вероятность наступления случая в каждом квартале не одинакова (они только в сумме дают 0.04). И это отразится на размере премии.

Р_г(не будет случая за время t) =

t = 1 (год), тогда , поэтому = -ln 0.96 = 0.04082 , /4 = 0.010205.

Это позволяет найти вероятности отсутствия случаев по кварталам: 0.9898 < 0.99, 0.9798 < 0.98, 0.9698 < 0.97, 0.9599 0.96.

Полученные вероятности играют роль весовых коэффициентов для квартальных взносов. Так как они уменьшились, то для сохранения экви­валентности обязательств размер квартальных премий (по сравнению с рассмотренным ранее примером) должен возрасти.

Этот же пример показывает, почему используется именно совре­менная цена, а не цена в какой-то другой момент времени, например, через год или месяц. Потребовалось бы дополнительно оценить вероятность то­го, данная процедура корректна, то есть к данному моменту поток взносов не прервется (компания получит все взносы). Это не слишком усложнит расчеты при анализе индивидуального риска, но создаст серьезные трудно­сти при исследовании коллективного риска (в задачах оценки вероятности разорения компании и расчета страховых резервов).