- •1. Профессия — Актуарий 2
- •Введение
- •1. Профессия — Актуарий
- •1.1. Решающее правило Байеса
- •1.2. Изменение цены денег
- •1.3. Изменение величины ущерба
- •1.4. Эквивалентность обязательств сторон
- •1.5. Некоторые сведения из страховой практики
- •1.6. Примеры задач актуария в страховой компании
- •1.7. Замечания о работе актуария страховой компании
- •1.8. Анализ риска страховщика и путей его снижения
- •1.9. Аналитические и численные методы решения актуарных задач
1.4. Эквивалентность обязательств сторон
Из выведенного в конце предыдущего параграфа условия следует, что надо приравнять две суммы по моменту t: в левой части суммируются произведения вероятности наступления страхового случая в промежутке (t, t+dt) на сумму накопленных к этому моменту взносов, а в правой части – произведения средней выплаты M(S) на те же вероятности. Тогда справа M(S) умножается на вероятность того, что страховой случай произойдет на (0, Т), то есть правая часть определена полностью.
В левой части неизвестен размер премии R. Его можно определить по известной плотности распределения вероятности и множителю (1+i)t. Ситуацию можно проиллюстрировать на следующем рисунке 10.
Рис. 10
Отмечены плотность вероятности, накопленная сумма и произведение плотности на размер выплаты. Видно, что коэффициент пропорциональности уменьшается с ростом t, то есть речь идет о современной цене. Также видно, что сначала выплата превышает накопленную сумму (риск страховщика), а затем накопленная сумма превышает выплату (риск страхователя). Однако площади под этими двумя кривыми равны – принцип равенства рисков (эквивалентности обязательств).
Отметим, что учитывается процентная ставка i, и сравниваются «приведенные» площади. Именно из этого условия и определяется размер рисковой премии.
Замечание. Для иллюстрации принципа эквивалентности обязательств сторон рассмотрим договор, заключенный на n лет. Стороны договорились проводить расчеты при процентной ставке i. Страховые премии вносятся в начале года, а выплата возмещения осуществляется в конце года, в течение которого произошел страховой случай. При этом страховая сумма выплачивается полностью.
На основании имеющейся информации страховщик оценил вероятности случайных событий At, состоящих в том, что страховой случай произойдет именно в t-й год с момента заключения договора. (Для простоты считаем, что договор заключен 01.01, тогда момент выплаты 31.12 совпадает с моментом подведения итогов работы компании за год.).
Поскольку временные интервалы (календарные годы) не пересекаются, то рассматриваемые события – несовместны. Кроме того, по договору возмещению подлежит лишь один страховой случай. (При страховании жизни или пенсии это очевидно, а в имущественном страховании после выплаты возмещения действие договора прекращается, но может быть составлен новый договор.)
Наконец, необходимо учесть, что страхового случая может и не наступить за эти n лет, поэтому полная группа событий должна содержать и соответствующее событие А0.
Таким образом, если n=1, то страховщик обязательно получит взнос R (с вероятностью 1), поэтому M(A)=R, а для выплаты возмещения: M(S)=S·p1·v+0·q1·v=S·p1·v. Отсюда M(A)=M(S), т.е. R1= S·p1·v.
На практике страховщик часто назначает R= S·p1>R1.
Если n=2, то страхователь первую премию вносит обязательно, а вторую только, если за первый год не произошло случая. Т.е. он внес либо одну премию с вероятностью p1, либо две премии с вероятностью (1–p1)=q1
Поэтому, М(А)=R·p1+R(l+v)·(l-p1)=R(l+v)–R·v·p1.
Первое слагаемое указывает на дисконтирование вносимых премий, а второе – на риск недополучения некоторых премий.
Аналогично,
M(S)=S·v·p1+S·v·v·p2+0·v·v·(1–p1–p2)=S·v·(p1+p2·v)
Тогда, R2=S·v·(p1+p2·v)/(l+v–v·p1).
Если n>2, то страхователь вносит суммарную дисконтированную премию: М(А)=R·p1+R(l+v)·p2 +…+R(l+v+…+vn–2)·pn–1=R(l+…+vn–1)·(l–p1–…pn–1)=R·К
M(S)=S·v·pl+S·v2·p2+…+S·vn·pn=S·L.
Приравняв M(A)=M(S), получим R=S·(L/K), где L/K – "ставка".
Очевидно, R зависит от п, т.е. R(n), поэтому представляет интерес характер этой зависимости. Аналитически эту зависимость в общем виде показать сложно, но численные расчеты показывают, что начиная с некоторого п: R(n+l)<R(n). Этот факт и лежит в основе "скидки", предоставляемой клиенту при увеличении срока страхования (процентная ставка начинает влиять сильнее, чем сумма вероятностей наступления страхового случая).