Вопрос 20. Предельные характеристики функции Кобба-Дугласа

Производственная функция (ПФ) выражает зависимость результата производства от затрат ресурсов. В качестве ресурсов (факторов производства) наиболее часто рассматривается накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) К и настоящий (живой) труд L, а в качестве результата – валовой выпуск X (либо валовой внутренний продукт Y, либо национальный доход N). П.ф. называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:1) - при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;2) - с ростом ресурсов выпуск растет;3) - с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;4) - при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет; Чаще всего используют нелинейные ПФ: Т.е. выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (фондов и труда).

Мультипликативная ПФ задается выражением: , Где А – параметр нейтрального технического прогресса; - коэффициенты эластичности по капиталу и труду. Они показывают, на какую величину в среднем изменится Х, если увеличить соответственно на 1%. При этом если , то уровень эффективности не зависит от масштабов производства. Если , то средние издержки, рассчитанные на единицу продукции, растут, а при – убывают по мере расширения масштабов производства. Следует отметить, что эти свойства не зависят от численных значений K, L и сохраняют силу в любой точке производственной функции. При построении производственной функции параметры A, можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК).

Частным случаем неоклассической ПФ является производственная функция Кобба-Дугласа.: . В случаях, когда исследователь располагает временным рядом, например, годовыми данными, характеризующими деятельность одной и той же фирмы, ПФ примет вид Где -корректированный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает колебания результата под воздействием других факторов, . Например - научно-технический прогресс. Q - темп роста НТП, показывающий, что объем выпускаемой продукции ежегодно увеличивается на Q процентов независимо от изменений в затратах производственных факторов.

Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна со­ответственно  и , так как (dХ/dК)/(Х/К)= α и (dХ/dL)/(Х/L)= β. Производительность труда показывает степень результативности использования трудовых ресурсов и вычисляется по формуле y=Х/L. Фондоотдача (капиталоотдача) характеризует уровень плодотворности применения основного капитала (основных фондов) и вычисляется по формуле z=X/K Предельная производительность труда и капитала. Для расчета этих величин определим частные производные функции по каждому из факторов: (dХ/dК)= r – предельная производительность капитала (фондоотдача), (dХ/dL)= w – предельная производительность труда. Таким образом, увеличение затрат капитала на 1 ед-цу при неизменных объемах используемого труда приведет к росту выпуска продукции на r единиц, а увеличение затрат труда на 1 ед-цу при неизменных объемах капитала приведет к росту выпуска на w ед-ц. Для мультипликативной ф-ии вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче (Х/K) c коэффициентом , а предельная производительность труда – средней пр-ти труда (X/L) с коэффициентом : .Предельная норма замещения труда капиталом. Эта величина обозначается S и равняется (dХ/dL) делить на (dХ/dК). Таким образом, если затраты труда уменьшатся на 1 единицу, то при неизменном выпуске продукции затраты капитала увеличатся на S единиц.