1.3 Операции над множествами
Для представления операций над множествами удобно пользоваться диаграммами Эйлера-Венна.
1. Объединение множеств.
Результатом объединения множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом либо множества , либо множества .
Обозначение:
2. Пересечение множеств.
Результатом пересечения множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является одновременно и элементом множества , и элементом множества .
Обозначение:
Разность множеств.
Результатом разности множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом множества , и не является элементом множества .
Обозначение:
Дополнение множества.
Дополнением множества до множества будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом множества , и не является элементом множества .
Обозначение:
Симметрическая разность множеств.
Результатом симметрической разности множеств и будет являться множество такое, что любой элемент множества является элементом в точности одного множества или .
Обозначение:
Пример: Даны два множества и . Выполнить операции объединения множеств, пересечения множеств, разности множеств, дополнения множества до , симметрической разности множеств.
Решение:
Пример: Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский, 8 – английский и немецкий, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский, 3 – немецкий, английский и французский. Сколько студентов изучают французский язык?
Решение: Решение данной задачи легко получить с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Пример: Доказать, что если и , то .
Доказательство: Из определения пересечения и объединения следует, что множества и состоят из одних и тех же элементов, т.е. .
Пример: Доказать, что .
Доказательство:
Пример: Верно ли, что для произвольных множеств и верно равенство ?
Решение:
Выберем 2 элемента и некоторого множества и запишем их в следующем виде: . Если строго определить первый и второй элементы пары, то полученную пару назовем упорядоченной, где - первый элемент пары, - второй элемент пары.
- упорядоченная пара,
- упорядоченная тройка,
…
Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченная n-ка или кортеж . Простейшим примером кортежа является вектор.
Упорядоченные пары называются равными и записываются , если только выполнено условие: и . В частности, , если .
Декартовым (прямым) произведение множеств называется множество упорядоченных n-ок (множество кортежей) , где , , …, , и обозначают . Таким образом,
Пример: Даны множества , . Найти , , .
Решение:
Пример: Даны множества , и . Найти .
Решение: