2. Поняття про умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Нехай на відкритій множині задано функції

і нехай Е — множина точок, координати яких задовольняють рівняння

(6)

Рівняння (6) називаються рівняннями зв’язку, або обмеженнями.

Означення. Точка називається точкою умов­ного максимуму (точкою умовного мінімуму) функції відносно рівняння зв’язку (6), якщо існує такий окіл точки х⁰, для всіх точок якого, що задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність:

/ /

Приклад. Функція z = xy відносно рівняння зв’язку у точці (0, 0) має умовний мінімум, бо z = (0, 0) = 0, а в точках (, ), що задовольняють рівняння зв’язку, значення функції додатні.

Означення. Точки умовного максимуму і мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум називають іноді відносним екстремумом.

Геометрична інтерпретація (рис. 4).

Рис. 4

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (Метод виключення)

Якщо рівняння зв’язку

, , (7)

можна розв’язати відносно m змінних, наприклад, відносно змінних :

……………………

,

то дослідження функції на умовний екстремум при обмеженнях (7) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції змінних :

.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівнянь зв’язку:

,

^● Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінних x i y: ,

Підставимо знайдені значення x i y у вираз для u та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції

, , якщо ;

тому — точка максимуму функції.

Отже, задана функція у точці має умовний максимум, що дорівнює ◄

Метод Лагранжа знаходження точок умовного екстремуму

Нехай функції , , , неперервно диференційовні в околі точки і ранг матриці Якобі

(8)

у цій точці дорівнює m.

Означення. Функцію

називають функцією Лагранжа, параметри — множниками Лагранжа.

Теорема 4. (Необхідна умова існування умовного екстремуму). Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівняннях зв’язку , необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовольняли систему рівнянь:

Умови (9), (10) означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Теорема 5 (Достатня умова умовного екстремуму). Нехай функції , , , двічі неперервно диференційовні в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функції при обмеженнях (10).

Тоді в разі виконання умов

(11)

другий диференціал функції Лагранжа є додатно (від’ємно) визначеною квадратичною формою. А це означає, що функція у точці має умовний строгий мінімум (максимум).

Якщо за умов (11) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

Приклад. Знайти умовний екстремум функції відносно рівняння зв’язку .

^● Функції u і  двічі неперервно диференційовні. Ранг матриці Якобі в даному разі дорівнює 1 у всіх точках, що задовольняють рівняння зв’язку. Отже, можна скористатися методом Лагранжа. Запишемо функцію Лагранжа

.

Згідно з необхідними умовами (9), (10) дістанемо систему

з якої знайдемо , при і , при . Отже, функція u може мати умовний екстремум лише у двох точках: і . Обчислимо другий диференціал функції Лагранжа:

; , ,

звідки .

Знайдемо перший диференціал функції : У точ­ках і диференціали і , пов’язані рівністю:

, або .

У разі виконання цієї умови другий диференціал функції Лагранжа в точці є додатно визначеною квадратичною формою ,

а в точці — від’ємно визначеною формою .

Отже, функція u в точці має умовний мінімум, а в точці — умовний максимум.