2. Настройка коэффициентов pi-регулятора для абсолютно жесткой системы

Настройка регулятора производилась в пакете Simulink с помощью Design Optimization Toolbox.

Соответствующая Simulink-модель представлена на рис. 7.

Рис. 7. Simulink-модель абсолютно жесткой системы

На рис. 7 подсистемой Subsystem обозначен объект управления, модель которого изображена на рис. 3. На вход системе подается ступенчатое воздействие единичной амплитуды. Блок Signal Constraint позволяет легко задавать требуемые ограничения на сигнал, в данном случае на скорость системы .

Необходимо получить максимальное быстродействие при следующих ограничениях на другие показатели качества:

1. перерегулирование не более ;

2. зона установившегося сигнала ;

Наименьшее время установления удалось получить равным при следующих значениях других показателей качества:

1. зона установившегося сигнала ;

2. перерегулирование (не выходит за верхнюю границу зоны установившегося сигнала) ;

Таким образом, зона, в которой должен находиться желаемый переходный процесс, выглядит следующим образом:

Рис. 8. Зона оптимального переходного процесса для абсолютно жесткой системы

Оптимизированные коэффициенты PI-регулятора имеют следующие значения:

;

;

3. Исследование поведения упругой двухмассовой системы при управлении pi-регулятором

Подключим к упругому объекту управления (см. рис. 6) PI-регулятор, коэффициенты которого дают оптимальный переходный процесс для абсолютно жесткой системы. На вход подадим ступенчатое воздействие единичной амплитуды. Simulink-схема рассматриваемой системы изображена на рис. 9.

Рис. 9. Simulink-схема упругой системы с PI-регулятором

График зависимости скорости инерционной нагрузки от времени представлен на рис. 10.

Рис. 10. Переходный процесс по скорости нагрузки для абсолютно жесткой модели и упругой двухмассовой модели

Из графика видно, что PI-регулятор, настроенный для абсолютно жесткой модели не подходит для управления упругой системой. Как и ожидалось, в системе с малым естественным демпфированием резкое входное воздействие (ступенчатое) вызывает сильные колебания, перерегулирование которых , а время установления увеличивается до .

Из этого графика также можно оценить характерный период упругих колебаний системы .

4. Исследование влияния различных нелинейных эффектов на поведение упругой двухмассовой системы

На рис. 11, 12 приведена схема Simulink-модели упругой системы с учетом всех нелинейностей, рассматриваемых в данной работе:

1. Шумы в датчике измерения скорости;

2. Ограничение на максимальное значение управления (нелинейность типа "насыщение");

3. Мертвая зона по углу (зона нечувствительности; например, зазор в механизме);

4. Сухое (Кулоново) трение (нелинейность типа "реле");

5. Сухое трение со Штрибек-эффектом;

При учете нелинейных эффектов их характеристики подбирались так, чтобы они оказывали заметное влияние на поведение системы, но не кардинально изменяли картину. В исследовании, приведенном ниже, каждая нелинейность учитывалась по отдельности.

Рис. 11. Simulink-модель упругой системы с учетом нелинейных эффектов

Рис. 12. Simulink-модель объекта управления упругой системы с учетом нелинейных эффектов

1. Шумы в датчике измерения скорости;

Предполагается, что датчик скорости не идеален, то есть он вносит помехи в измеряемый сигнал. Эта нелинейность учитывается в модели с помощью блока Noise (см. рис. 11), генерирующего нормально распределенный шум с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением, равным 0,1. Влияние этой нелинейности на скорость инерционной нагрузки можно увидеть на рис. 13.

Рис. 13. Влияние шума с датчика на скорость инерционной нагрузки

Из графика видно, что шум датчика начинает заметно сказываться на скорости нагрузки тогда, когда спадают большие амплитуды колебаний, то есть по мере приближения к установившемуся режиму.

2. Ограничение на максимальное значение управления (нелинейность типа "насыщение");

Данная нелинейность позволяет учесть ограниченность управляющего воздействия, что всегда имеет место в реальных системах. Примерный вид этой зависимости приведен на рис. 14.

Рис. 14. Примерный вид зависимости типа "насыщение"

При моделировании ограничение на управление реализуется блоком Saturation (см. рис. 11). Верхняя граница управляющего воздействия , нижняя такая же по модулю, но с противоположным знаком. Такая нелинейность оказала следующее влияние на скорость инерционной нагрузки в системе:

Рис. 15. Влияние ограниченного управления на скорость инерционной нагрузки

Из графика видно, что ограниченное управление хуже справляется со стабилизацией нагрузки по быстродействию, чем неограниченное, но амплитуда колебаний снижается. Это является вполне естественным, поскольку ограниченное по модулю управление разгоняет нагрузку за большее время, чем неограниченное и не может разогнать ее быстрее определенной скорости.

3. Мертвая зона по углу (зона нечувствительности);

Этот вид нелинейной зависимости может использоваться для описания зазоров в механизме. Это означает, что есть некий диапазон малых углов поворота двигателя относительно нагрузки, когда движение от двигателя не передается на нагрузку. Примерный вид этой нелинейности представлен на рис. 16.

Рис. 17. Примерный вид зависимости типа "мертвая зона"

При моделировании зона нечувствительности реализуется с помощью блока Dead Zone (см. рис. 12).

Границы зоны нечувствительности определим величиной , что соответствует зазору между шестеренками величиной в 5 угловых минут ( ). Соответствующий переходный процесс по скорости представлен на рис. 18.

Рис. 18. Влияние "мертвая зоны" по угла на скорость инерционной нагрузки

Из графиков видно, что изменения скорости происходят так же, как и в случае линейной модели, только со сдвигом во времени. Участки равномерного спада скорости нагрузки соответствуют тем моментам времени, когда ускорение двигателя меняет знак, тем самым замедляется или ускоряется вращение двигателя, а за счет своей инерционности нагрузка продолжает движение в пределах мертвой зоны до тех пор, пока вновь не произойдет сцепление шестеренок и на нагрузку не передастся измененное в направлении ускорение.

4. Кулоново трение (реле);

Данная нелинейность позволяет учесть эффект сухого трения в модели. Характеристика имеет вид идеального реле, см. рис. 19.

Рис. 19. Примерный вид характеристики типа "идеальное реле"

При моделировании системы пороговое значение Кулонова трения для обоих подшипников принято равным 10. Вязкое трение было отключено от модели. Полученный переходный процесс представлен на рис. 20.

Рис. 20. Влияние Кулонова трения в подшипниках на скорость инерционной нагрузки

Видимые различия переходных процессов обусловлены тем, что в модели, в которой не учтено Кулоново трение, учтено вязкое, тогда как в модели с Кулоновым трением учтено только оно, вязкое трение исключено. На рис. 20 не четко прослеживается влияние сухого трения. Для наглядности увеличим масштаб:

Рис. 21. Влияние Кулонова трения в подшипниках на скорость инерционной нагрузки

При таком масштабе прекрасно видно, что при учете Кулонова трения скорость нагрузки начинает возрастать позднее, чем в модели без его учета, поскольку для начала движения необходимо перейти предельную силу сопротивления.

5. Сухое трение с эффектом Штрибека;

Эта нелинейность представляет собой развитие модели Кулонова трения. Ее особенность состоит в учете статического и динамического коэффициентов трения, принимая во внимание тот факт, что первый больше второго. Для начала движения из состояния покоя системе необходимо достигнуть максимального значения статического трения, после чего начинается движение, и сила сопротивления довольно резко падает за небольшой промежуток времени и устанавливается на уровне динамического трения. Примерный вид такой характеристики представлен на рис. 22.

Рис. 22. Примерный вид зависимости типа "трение со Штрибек-эффектом"

При моделировании системы было принято: , , ширина зоны влияния Штрибек-эффекта принята равной 0,1. Трение такого типа учтено в обоих подшипниках. Соответствующий переходный процесс представлен на рис. 23.

Рис. 23. Влияние трения со Штрибек-эффектом в подшипниках на скорость инерционной нагрузки

Картина практически ничем не отличается от изображенной на рис. 21, где учитывается Кулоново трение. Ведь Штрибек-эффект имеет влияние лишь в самом начале движения, и величина трения довольно быстро устанавливается константой и таковой и является все дальнейшее время движения системы. Видимое различие с переходным процессом, изображенным на рис. 21 обусловлено другим уровнем силы трения, который не изменяется в процессе движения системы.

В этом эксперименте выбрана достаточно высокая желаемая скорость нагрузки ― 1 . Поэтому она, преодолев силу статического трения, будет продолжать свое движение без кардинальных изменений. Однако экспериментально известен тот факт, что если желаемая скорость достаточно мала (порядка 0,01 - 0,1 ), то движения с выходом на желаемый стационарный уровень не будет, а будут наблюдаться кратковременные движения с остановками, так называемые релаксационные автоколебания. Этот эффект можно получить, если учесть в системе трение по модели Штрибека. Тогда в состоянии покоя система будет находиться до тех пор, пока сила упругости кинематической передачи не преодолеет силу статического трения. Как только это произойдет, начнется движение. Во время движения сила сопротивления падает, и как только она станет меньше силы упругости, система вновь остановится до тех пор, пока снова сила упругости не превысит силу статического трения и так по кругу. Это и есть релаксационные автоколебания.