Задача 3

	b1 = 180		b2 = 150		b3 = 210		b4 = 100		b5 = 260
a1 = 300		4		3		5		1		4
a2 = 200		3		4		6		2		7
a3 = 400		5		2		5		3		8

Решение.

Данная задача относится к задачам транспортного типа.

Выбор опорного плана осуществляем методом наименьшей стоимости.

	b1 = 180		b2 = 150		b3 = 210		b4 = 100		b5 = 260
a1 = 300		4		3		5		1		4
	-		-		-		1001		2004
a2 = 200		3		4		6		2		7
	1803		-		-		-		206
a3 = 400		5		2		5		3		8
	-		1502		2105		-		407

Нижним индексом помечен шаг метода

Улучшение плана производим методом потенциалов. Для этого для занятых клеток используется равенство, при U1 = 0.

C_ij – (U_i + V_j) = 0

	V1=0		V2=- 2		V3=1		V4=1		V5=4
U1=0		4		3		5		1		4
	-		-		-		1001		2004
U2=3		3		4		6		2		7
	1803		-		-		-		206
U3=4		5		2		5		3		8
	-		1502		2105		-		407

C₁₄ – (U₁ + V₄) = 0 => 1- (0 + V₄) = 0 => V₄ = 1;

C₁₅ – (U₁ + V₅) = 0 => 4- (0 + V₅) = 0 => V₅ = 4;

C₂₅ – (U₂ + V₅) = 0 => 7- (U₂ + 4) = 0 => U₂ = 3;

C₂₁ – (U₂ + V₁) = 0 => 3- (3 + V₁) = 0 => V₁ = 0;

C₃₅ – (U₃ + V₅) = 0 => 8 – (U₃ + 4) = 0 => U₃= 4;

C₃₂ – (U₃ + V₂) = 0 => 2- (4 + V₂) = 0 => V₂ = -2;

C₃₃ – (U₃ + V₃) = 0 => 5- (4 + V₃) = 0 => V₃ = 1.

Для свободных клеток вычисляются величины:

ΔC_ij = C_ij – (U_i + V_j)

	V1=0		V2=- 2		V3=1		V4=1		V5=4
U1=0	4	4	5	3	4	5		1		4
			-		-		1 001		2004
U2=3		3	3	4	2	6	-2	2		7
	1803		-		-		-		206
U3=4	1	5		2		5	-2	3		8
	-		1502		2105		-		407

ΔC₁₁ = C₁₁ – (U₁ + V₁) = 4

ΔC₁₂ = C₁₂ – (U₁ + V₂) = 1

ΔC₁₃ = C₁₃ – (U₁ + V₃) = 4

ΔC₂₂ = C₂₂ – (U₂ + V₂) = 3

ΔC₂₃ = C₂₃ – (U₂ + V₃) = 2

ΔC₂₄ = C₂₄ – (U₂ + V₄) = -2

ΔC₃₁ = C₃₁ – (U₃ + V₁) = 1

ΔC₃₄ = C₃₄ – (U₃ + V₄) = -2

Поскольку присутствуют отрицательные ΔС_ij оптимального решения нет. Производим улучшение плана перевозок.

Для этого выбираем клетку с минимальной ΔС_ij и строим ломаную фигуру, остальные вершины которой опираются на заполненные клетки. После чего этой вершине присваиваем знак «+», а остальные знаки чередуются.

Выбираем минимальное значение при отрицательной вершине. Это 40. Эта величина вычитается от всех вершин со знаком «-« и прибавляется ко всем со знаком «+».

1 00 200 60 240

40 40

Заново заполняем матрицу уже с новыми значениями и заново считаем потенциалы. Результаты расчетов представлены ниже.

C₁₄ – (U₁ + V₄) = 0 => 1- (0 + V₄) = 0 => V₄ = 1;

C₁₅ – (U₁ + V₅) = 0 => 4- (0 + V₅) = 0 => V₅ = 4;

C₂₅ – (U₂ + V₅) = 0 => 7- (U₂ + 4) = 0 => U₂ = 3;

C₂₁ – (U₂ + V₁) = 0 => 3- (3 + V₁) = 0 => V₁ = 0;

C₃₄ – (U₃ + V₄) = 0 => 3 – (U₃ + 1) = 0 => U₃= 2;

C₃₂ – (U₃ + V₂) = 0 => 2- (2 + V₂) = 0 => V₂ = 0;

C₃₃ – (U₃ + V₃) = 0 => 5- (2 + V₃) = 0 => V₃ = 3.

	V1=0		V2=0		V3=1		V4=1		V5=4
U1=0	4	4	3	3	2	5		1		4
			-		-		60		240
U2=3		3	1	4	0	6	-2	2		7
	180		-		-		-		20
U3=2	1	5		2		5		3	2	8
	-		150		210		40		40

ΔC₁₁ = C₁₁ – (U₁ + V₁) = 4

ΔC₁₂ = C₁₂ – (U₁ + V₂) = 3

ΔC₁₃ = C₁₃ – (U₁ + V₃) = 2

ΔC₂₂ = C₂₂ – (U₂ + V₂) = 1

ΔC₂₃ = C₂₃ – (U₂ + V₃) = 0

ΔC₂₄ = C₂₄ – (U₂ + V₄) = -2

ΔC₃₁ = C₃₁ – (U₃ + V₁) = 3

ΔC₃₅ = C₃₅ – (U₃ + V₅) = 2

60 240 40 260

20 20

Аналогичные расчеты потенциалов и ΔС_ij приводят к результатам, представленным в таблице

	V1=2		V2=0		V3=3		V4=1		V5=4
U1=0	2	4	3	3	2	5		1		4
			-		-		40		260
U2=1		3	3	4	2	6		2	2	7
	180		-		-		20		20
U3=2	1	5		2		5		3	2	8
	-		150		210		40		40

Поскольку все ΔС_ij положительны, делаем вывод о том, что данное распределение (план перевозок) оптимально. Подсчитываем целевую функцию:

L = 40*1+260*4+180*3+20*2+150*2+210*5+40*3 = 3130.

Задача 4

Служба занятости имеет в наличии четыре вакантных мес­та по разным специальностям, на которые претендуют четыре человека. Проведено тестирование претендентов, результаты которого в виде баллов представлены в матрице. Распределить по данным, представленным в таблице, претендентов на вакантные места таким об­разом, чтобы на каждое место был назначен человек с наименьшим набранным по тестированию баллом.

32	30	30	29
25	27	26	31
27	25	26	27
31	32	28	29

Решение задачи

Осуществим так называемым «венгерским алгоритмом»

Д ля этого из элементов каждой строки вычтем минимальный элемент соответствующей строки:

Аналогичные операции для столбцов проводить не нужно, поскольку в каждом из них имеется один нулевой элемент.

Анализ полученной матрицы показывает, что минимальное количество линий для вычеркивания нулевых элементов равно 4 – размеру матрицы. Значит в ней уже имеется оптимальное решение, называемое назначением.

Проверяя матрицу, замечаем, что в каждой строке и в каждом ее столбце находится ровно по одному нулевому элементу. Они и составят оптимальное решение.

Оно равно: 29+25+25+28 = 107

Задача 5.

Даны зависимости спроса D= A - B * p и предложения S= C + E * p от цены р. Найдите цену, при которой выручка максимальна и значение этой выручки. Найдите равновесную цену и выручку при ней. Решение – аналитически и графически. Исходные данные представлены в таблице 2.

А	В	С	E
250	25	100	25

Решение.

Аналитический способ

В точке равновесия спрос и предложение равны, т.е. D = S,

250 - 25*р = 100 + 25*р 150 = 50 р

откуда р = 3.

Выручка при равновесной цене равна

R = D(3)*3 = (250 – 25*3)*3 = 175*3= 525.

Цена, при которой выручка максимальна, определяется выражением:

R = D(р)*р = R_mах = 250р-25р².

R^/ = 250-50р.

О ткуда р = 5, а R =(250 – 25*5)*5 = 625.

Графический способ

R

D (p) S(p)

600 R = 250р-25р².

2 00

1 00 300

0 1 2 3 4 5 p 0 2 4 6 8 10 p

Задача 6.

Функция спроса описывается зависимостью х = F - G * р, где х - количество товаров, р - их цена. Построить график эластичности спроса при цене р = и охарактеризовать (приведите интервалы различных видов спроса). Исходные данные представлены в таблице 2.

F	G
12	2

Решение

Записываем выражение для определения эластичности .

Для нашего случая получаем

.

Находим значение цены, при которой спрос нейтрален.

Поскольку эластичность спроса отрицательна, можно записать:

откуда: Р = 3.

В интервале ]0;3[ выбираем точку 1

Спрос не эластичный.

В интервале ]3;6[ выбираем точку 5

Спрос эластичный.

Требуемый график построен в программе Microsoft Excel.

Не эластичный

Эластичный

E_D= -1

Задача 7.

Табл. 1 содержит данные баланса трех отрас­лей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до А1, А2 и А3 (таблица 2) условных денежных единиц.

Таблица 1

№	Отрасль	Потребление			Конечный продукт	Валовой выпуск
1. 2. 3.	Добыча и переработка углеводородов Энергетика Машиностроение	20 15 20	25 10 10	20 20 5	35 55 15	100 100 50

A1	A2	A3
45	79	30

РЕШЕНИЕ

Выпишем:

векторы валового выпуска

конеч­ного потребления

и матрицу коэффициентов прямых затрат

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности.

При увеличении конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

.

Необходимо найти новый вектор валового выпуска , удов­лет-воряющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не меняется. В таком случае компоненты х₁, х₂, х₃ неизвестного вектора находятся из системы уравнений вида:

Или в стандартном виде:

Решаем данную систему уравнений методом Крамера.

Получим:

= 0,48425

= 69,385

= 71,635

= 39,52

Откуда х1 = Δ1/Δ = 143,283

x2 = Δ2/Δ = 147,930

x3 = Δ3/Δ = 81,611

или: