Границы применимости классической механики

В настоящее время известно три типа ситуаций, в которых классическая механика перестаёт отражать реальность.

• Свойства микромира не могут быть поняты в рамках классической механики. В частности, в сочетании с термодинамикой она порождает ряд противоречий (см.Классическая механика). Адекватным языком для описания свойств атомов и субатомных частиц является квантовая механика. Подчеркнём, что переход от классической к квантовой механике — это не просто замена уравнений движения, а полная перестройка всей совокупности понятий (что такое физическая величина, наблюдаемое, процесс измерения и т. д.)

• При скоростях, близких к скорости света, классическая механика также перестаёт работать, и необходимо переходить к специальной теории относительности. Опять же, этот переход подразумевает полный пересмотр парадигмы, а не простое видоизменение уравнений движения. Если же, пренебрегая новым взглядом на реальность, попытаться всё же привести уравнение движения к виду F = ma, то придётся вводить тензор масс, компоненты которого растут с ростом скорости. Эта конструкция уже долгое время служит источником многочисленных заблуждений, поэтому пользоваться ей не рекомендуется.

• Классическая механика становится неэффективной при рассмотрении систем с очень большим числом частиц (или же большим числом степеней свободы). В этом случае практически целесообразно переходить к статистической физике.

9

Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем отсчета: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система.

При рассмотрении уравнений движения тела в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать дополнительные силы инерции. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной.

Классическая механика постулирует следующие два принципа:

1. время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта;

2. пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта.

Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняется Первый закон Ньютона.

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид:

,

где — масса тела, — ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта, — сумма всех внешних сил, действующих на тело, — переносное ускорение тела, — кориолисово ускорение тела.

Это уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции:

• — переносная сила инерции

• — сила Кориолиса

Инерциальная система отсчёта, система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Всякая система отсчёта, движущаяся по отношению к И. с. о. поступательно, равномерно и прямолинейно, есть также И. с. о. Следовательно, теоретически может существовать сколько угодно равноправных И. с. о., обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы (так называемый принцип относительности). Помимо закона инерции, в любой И. с. о. справедливы также 2-й закон Ньютона (см. Ньютона законы механики) и законы сохранения количества движения (импульса), момента количества движения и движения центра инерции (или центра масс) для замкнутых, т. е. не подверженных внешним воздействиям, систем.

Если система отсчёта движется по отношению к И. с. о. неравномерно и прямолинейно, то она является неинерциальной и ни закон инерции, ни другие названные законы в ней не выполняются. Объясняется это тем, что по отношению к неинерциальной системе отсчёта материальная точка будет иметь ускорение даже при отсутствии действующих сил вследствие ускоренного поступательного или вращательного движения самой системы отсчёта.

Понятие об И. с. о. является научной абстракцией. Реальная система отсчёта связывается всегда с каким-нибудь конкретным телом (Землёй, корпусом корабля или самолёта и т. п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. Поскольку в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звёздам и т. д.), то любая реальная система отсчёта может рассматриваться как И. с. о. лишь с той или иной степенью приближения. С очень высокой степенью точности И. с. о. можно считать так называемую гелиоцентрическую (звёздную) систему с началом в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы) и с осями, направленными на три звезды. Такая И. с. о. используется главным образом в задачах небесной механики и космонавтики. Для решения большинства технических задач И. с. о. практически может служить система, жестко связанная с Землёй, а в случаях, требующих большей точности (например, в гироскопии), — с началом в центре Земли и осями, направленными на звёзды.

При переходе от одной И. с. о. к другой в классической механике Ньютона для пространственных координат и времени справедливы преобразования Галилея (см. Галилея принцип относительности), а в релятивистской механике (т. е. при скоростях движения, близких к скорости света) — Лоренца преобразования.

Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения. Названа по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые её описавшего. Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 году, Гауссом в 1803 году и Эйлером в 1765 году.

Причина появления силы Кориолиса — в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Для того, чтобы тело двигалось с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной F = ma, где a — кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности. F_K = − ma. Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции — центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки — то вправо.

Сила Кориолиса равна:

,

где  — точечная масса,  — вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта,  — вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.

Величина называется кориолисовым ускорением.

Сила инерции — фиктивная сила, которую можно ввести в неинерциальной системе отсчёта так, чтобы законы механики в ней совпадали с законами инерциальных систем.

В математических вычислениях введения этой силы происходит путём преобразования уравнения

F₁+F₂+…F_n = ma к виду

F₁+F₂+…F_n–ma = 0 Где F_n — реально действующая сила, а –ma — «сила инерции».

Закон инерции про инерционные системы отсчёта гласит, что без влияния неуравновешенных сил тело будет сохранять свою скорость или неподвижность. В качестве примера силы инерции можно рассмотреть простую силу инерции, которую можно ввести в равноускоренной системе отсчёта:

Пусть у нас есть быстро останавливающийся автобус. Все тела в нём будут нарушать закон инерции — они будут иметь тенденцию продолжать движение, и пассажирам придётся крепко держаться за поручни, чтобы не упасть вперёд, и оставаться неподвижными на своих местах относительно автобуса. Но если предположить, что всем пассажирам приходится противодействовать некой силе, то можно будет объяснить эту тенденцию её действием. Такую силу и назвали силой инерции. С введением этой силы закон инерции в автобусе восстановится — тела можно счесть подвергающимися действию этой силы, и тогда они будут вести себя в полном соответствии со вторым законом Ньютона. То есть если пассажиры приложат к себе относительно поручней дополнительную мускульную силу, противоположную силе инерции, то останутся на своих местах.

Среди сил инерции выделяют следующие:

• простую силу инерции, которую мы только что рассмотрели;

• центробежную силу, объясняющую стремление тел улететь от оси во вращающихся системах отсчёта;

• силу Кориолиса, объясняющую стремление тел сойти с радиуса при радиальном движении во вращающихся системах отсчёта;

С точки зрения общей теории относительности, гравитационные силы в любой точке — это силы инерции в данной точке искривлённого пространства Эйнштейна (см. принцип эквивалентности).

10

Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.

В случае упругих деформаций является потенциальной. Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. Сила упругости направлена противоположно смещению, перпендикулярно поверхности.

Вектор силы противоположен направлению деформации тела (смещению его молекул).

Деформа́ция (от лат. deformatio — «искажение») — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Обычно деформация сопровождается изменением величин межатомных сил, мерой которого является упругое механическое напряжение. Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые — остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия(другими словами, атомы не выходят за пределы межатомных связей).

В технике часто применяются спиралеобразные пружины (рис. 1.12.3). При растяжении или сжатии пружин возникают упругие силы, которые также подчиняются закону Гука. Коэффициент k называют жесткостью пружины. В пределах применимости закона Гука пружины способны сильно изменять свою длину. Поэтому их часто используют для измерения сил. Пружину, растяжение которой проградуировано в единицах силы, называют динамометром. Следует иметь в виду, что при растяжении или сжатии пружины в ее витках возникают сложные деформации кручения и изгиба.

Рисунок 1.12.3. Деформация растяжения пружины.

В отличие от пружин и некоторых эластичных материалов (резина) деформация растяжения или сжатия упругих стержней (или проволок) подчиняются линейному закону Гука в очень узких пределах. Для металлов относительная деформация ε = x / l не должна превышать 1 %. При больших деформациях возникают необратимые явления (текучесть) и разрушение материала.

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости.

Простейшим видом деформации являются деформации растяжения и сжатия (рис. 1.12.1).

Рисунок 1.12.1. Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0). Внешняя сила

При малых деформациях (|x| << l) сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации:

Fx = Fупр = –kx.

Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жесткостью тела. В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Коэффициент жесткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала. В физике закон Гука для деформации растяжения или сжатия принято записывать в другой форме. Отношение ε = x / l называется относительной деформацией, а отношение σ = F / S = –F_упр / S, где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением. Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ:

Коэффициент E в этой формуле называется модулем Юнга. Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Модуль Юнга различных материалов меняется в широких пределах. Для стали, например, E ≈ 2·10¹¹ Н/м², а для резины E ≈ 2·10⁶ Н/м², т. е. на пять порядков меньше.

Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций. Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах (рис. 1.12.2).

Рисунок 1.12.2. Деформация изгиба.

Упругую силу действующую на тело со стороны опоры (или подвеса), называют силой реакции опоры. При соприкосновении тел сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения. Поэтому ее часто называют силой нормального давления. Если тело лежит на горизонтальном неподвижном столе, сила реакции опоры направлена вертикально вверх и уравновешивает силу тяжести: Сила с которой тело действует на стол, называется весом тела.

Модуль Юнга (модуль упругости) — коэффициент, характеризующий сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации. Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга. В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле — как функционал среды и процесса.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

где:

• E — модуль упругости, измеряемый в паскалях

• F — сила в ньютонах,

• S — площадь поверхности, по которой распределено действие силы,

• l — длина деформируемого стержня,

• x — модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).

Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения звука в веществе:

где ρ — плотность вещества.

11

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком В.Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Если тензора 4-ранга обладают симметрией по первой и второй паре индексов

,

,

то элементы этого тензора можно записать в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

.

Например, компонента будет соответствовать элементу матрицы .

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2-ранга в виде 6-векторов. При таком представлении, результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Те́нзор деформа́ции — тензор, который характеризует сжатие (растяжение) и изменение формы в каждой точке тела при деформации.

Тензор деформации Коши-Грина в классической сплошной среде (частицы которой являются материальными точками и обладают лишь тремя трансляционными степенями свободы) определяется как

,

где — вектор, описывающий смещение точки тела: его координаты — разность между координатами близких точек после ( ) и до (dx_i) деформации. Дифференцирование производится по координатам в отсчетной конфигурации (до деформирования). Расстояния до и после деформации связаны через :

(по повторяющимся индексам ведётся суммирование).

По определению тензор деформации симметричен, то есть .

В некоторых источниках этот тензор деформации называют тензором деформации Грина-Лагранжа, а правую меру деформации Коши-Грина (удвоенный обсуждаемый тензор деформации плюс единичный тензор) - правым тензором деформации Коши-Грина.

Нелинейный тензор деформации Коши-Грина обладает свойством материальной объективности. Это означает, что если кусок деформируемого тела совершает жесткое движение, тензор деформации поворачивается вместе с элементарным объемом материала. Удобно использовать такие тензоры при записи определяющих уравнений материала, тогда принцип материальной объективности выполняется автоматически, то есть если наблюдатель двигается относительно деформируемой среды, поведение материала не меняется (тензор напряжений поворачивается в системе отсчета наблюдателя вместе с элементарным объемом материала).

Существуют также другие объективные тензоры деформации, например, тензор деформации Альманси, тензоры деформации Пиола, Фингера и т.д. В некоторые из них входят производные от перемещений по координатам в отсчетной конфигурации (до деформирования), а в некоторые - по координатам в актуальной конфигурации (после деформирования).

То, что в классической сплошной среде энергия деформации зависит лишь от симметричного тензора деформации, следует из закона баланса моментов. Любая взаимно-однозначная функция объективного тензора деформации будет также объективным тензором деформации. Например (в силу симметричности и положительной определенности тензора деформации) можно использовать квадратный корень из тензора деформации Коши-Грина. Однако, задавая определяющие уравнения при помощи этих тензоров, важно следить за предположениями о характере зависимости свободной энергии (или напряжений) от тензоров деформации. Ясно, что предположения о, скажем, дифференцируемости свободной энергии по тензору деформации Коши-Грина, по корню из него или по его квадрату приведут к уравнениям совершенно разных материалов. Линейная по теория общего вида при малых получится лишь в первом случае.

При малых можно пренебречь квадратичными слагаемыми, и пользоваться тензором деформации в виде:

Линейный тензор деформации Коши-Грина (совпадает с линейным тензором деформации Альманси с точностью до знака) не обладает свойством материальной объективности при больших поворотах, поэтому его не используют в определяющих уравнениях для больших деформаций. В приближении малых поворотов это свойство сохраняется.

Диагональные элементы описывают линейные деформации растяжения либо сжатия, недиагональные — деформацию сдвига.

Те́нзор напряже́ний — тензор второго ранга, состоящий из девяти величин, представляющих механические напряжения в произвольной точке нагруженного тела. Эти девять величин записываются в виде таблицы, в которой по главной диагонали стоят нормальные напряжения в трёх взаимно перпендикулярных осях, а в остальных позициях — касательные напряжения, действующие на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

Полный тензор механического напряжения элементарного объёма тела. Буквой σ обозначены нормальные механические напряжения, а касательные буквой τ.

Компоненты тензора напряжений σ_ij в декартовой системе координат Ox_i (т.е. Oxyz) вводят следующим образом. Рассматривают бесконечно малый объем тела (сплошной среды) в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого ортогональны координатным осям и имеют площади dS_i. На каждой грани dS_i параллелепипеда действуют поверхностные силы dF_i. Если обозначить проекции этих сил на оси Ox_j как dF_ij, то компонентами тензора напряжений называют отношение проекций силы к величине площади грани, на которой действует эта сила:

По индексу i здесь суммирования нет. Компоненты σ₁₁, σ₂₂,σ₃₃, обозначаемые также как σ_xx, σ_yy,σ_zz — это нормальные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы dF_i на нормаль к рассматриваемой грани dS_i:

и т.д.

Компоненты σ₁₂, σ₂₃,σ₁₃, обозначаемые также как τ_xy, τ_yz,τ_xz — это касательные напряжения, они представляют собой отношение проекции силы dF_i на касательные направления к рассматриваемой грани dS_i:

и т.д.

В случае линейной теории упругости тензор напряжений симметричен (так называемый закон парности касательных напряжений).

12

пластическая деформация

Согнем немного стальную пластинку (например, ножовку), а затем через некоторое время отпустим ее. Мы увидим, что ножовка полностью (во всяком случае на взгляд) восстановит свою форму. Если возьмем такого же размера свинцовую пластинку и на такое же время согнем ее, то она не восстановит свою форму полностью и останется согнутой. Деформации, которые полностью исчезают, как только исчезают деформирующие силы, как у стальной пластинки, называют упругими. Деформации, которые не исчезают по снятии деформирующих сил, как у свинцовой пластинки, называют пластическими. Строго говоря, не наблюдается ни вполне упругих, ни вполне пластических деформаций. Если стальную пластинку продержать в согнутом состоянии очень долго (например, несколько лет), то по снятии деформирующих сил она не разогнется полностью. Получится остаточная деформация, которая будет тем значительнее, чем дольше пластинка была в деформированном состоянии. Итак, упругая деформация у всех тел с течением времени переходит в пластическую. Вещества, у которых упругая деформация в заметной мере переходит в пластическую лишь в течение длительного времени (годы!), называют упругими веществами. Примерами упругих веществ являются сталь, стекло. Вещества, у которых упругая деформация в заметной мере переходит в пластическую в течение короткого времени (секунды, доли секунды), называют пластичными веществами. Примеры: свинец, воск и т. п. Однако если промежуток времени будет слишком мал, то деформация и в пластичном веществе не успеет перейти в пластическую. Например, при очень кратковременной деформации свинцовая пластинка может повести себя так же, как и стальная. Переход упругой деформации в пластическую зависит еще и от самой деформации. Чем больше деформация, тем меньший промежуток времени требуется для ее перехода в пластическую. Увеличивая деформацию какого-нибудь тела, мы дойдем, наконец, до такой деформации, при которой переход из упругой в пластическую происходит практически мгновенно. Мы говорим в таком случае, что достигли предела упругости. У упругих веществ предел упругости велик, а у пластичных веществ он мал. Заметим, что предел упругости зависит от температуры. Чем выше температура, тем ниже предел упругости у данного вещества.

13

За́мкнутая систе́ма представляет собой систему, в которой отсутствует обмен веществом, энергией и информацией с внешней средой или окружением. Это отличает замкнутую систему от изолированной системы, где допускается обмен информацией, и также от закрытой системы, где возможен обмен энергией. С точки зрения теории бесконечной вложенности материи представление о замкнутой системе является идеализацией, поскольку экранировать любую систему от внешних воздействий одновременно на всех уровнях материи невозможно.

В философии носителей, в которой с помощью синкретной логики выводятся законы философии, связанные с системами, замкнутая система появляется как результат рассмотрения обмена между системами потоками вещества, энергии и информации. ^[1]

Замкнутая система в механике может быть определена как такая система тел, на которую не действуют внешние силы, либо действия этих внешних сил на тела системы полностью скомпенсированы.

Понятие замкнутой системы используется в лоренц-инвариантной термодинамике, в которой некоторые термодинамические величины определяются через напряжённости, плотности энергии и потоки энергии электромагнитного и гравитационного полей, ^[2] а также представлены в виде тензоров.