3.12. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига

Кинетическая энергия — скалярная мера механического движения.

Кинетическая энергия материальной точки — скалярная положительная величина, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, т. е. .

К

Рисунок 23

инетическая энергия механической системы — арифметическая сумма кинетических энергий всех материальных точек этой системы (рис. 23):

(3.57)

Кинетическая энергия системы, состоящей из связанных между собой тел, равна арифметической сумме кинетических энергий всех тел этой системы:

(3.58)

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы в общем случае ее движения равна сумме кинетической энергии движения системы вместе с центром масс и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс:

(3.59)

где — скорость точки системы относительно центра масс.

3.13. Кинетическая энергия твердого тела при различном движении

1. Поступательное движение.

При поступательном движении тела (рис. 24). С учетом (3.57)

(3.60)

Этот результат можно получить из (3.59), где для этого движения .

2 . Вращение тела вокруг неподвижной оси (рис. 25).

С учетом (3.57)

(3.61)

г

Рисунок 24

Рисунок 25

де — момент инерции тела относительно оси вращения.

3. Плоскопараллельное движение.

На основании теоремы Кенига (3.59) с учетом, что :

,

где — момент инерции плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр масс.

При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс :

(3.62)

Плоскопараллельное движение эквивалентно мгновенному вращательному вокруг оси, проходящей через МЦС (рис. 26). Поэтому . С учетом этого (3.62) примет вид

Рисунок 26

, где — теорема Гюйгенса-Штейнера. Тогда (3.63)

3.14. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки

1. Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Доказательство:

; .

Подставим в выражение второго закона динамики

; ; (3.65);

2. Теорема в интегральной {конечной) форме.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором перемещении равно работе силы, действующей на точку, на том же перемещении.

Доказательство:

Дифференциал от кинетической энергии точки равен элементарной работе:

Проинтегрируем

(3.66)

3.15. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

1. Теорема в дифференциальной форме.

Дифференциал от кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Доказательство: Для точки системы

где и соответственно — элементарная работа внешней и внутренней сил, приложенных к точке. Для всей системы

.

,

где — кинетическая энергия системы; , — соответственно элементарная работа всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Таким образом,

(3.67)

Для системы твердых тел с учетом (3.47) . Тогда

(3.68)

Разделим (3.67) на : , где — мощность внешних сил; — мощность внутренних. Тогда

(3.69)

или с учетом (3.68)

(3.70)

Вторая Формулировка теоремы.

Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на систему (или только внешних (3.70)).

2. Теорема в интегральной (конечной) форме.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на том же перемещении.

Доказательство: Запишем теорему в интегральной форме для точки системы:

где и — соответственно работа внешней и внутренней сил, приложенных к точке, на некотором перемещении. Суммируя по всем точкам системы, получим

(3.71)

Для системы твердых тел (по свойству внутренних сил). Тогда

(3.72)