Методы нахождения начального допустимого плана перевозок груза

Рассмотрим методы построения начального плана транспортной задачи. От того, как построен начальный план перевозок, зависит количество итераций или последовательных приближений, хотя к оптимальному решению можно прийти при любом его построении.

I. Правило “северо-западного угла”

Условия задачи записываем в виде таблицы. Распределение поставок по данному правилу проиллюстрируем на примере. Начинают распределение поставок из первого пункта производства к первому пункту потребления, т. е. с верхней левой клетки таблицы. После ее заполнения следующей должна загружаться одна из соседних к ней клеток: либо в той же строке, либо в том же столбце. Если ни в одну из соседних клеток нечего поставить (т. е. возможности соответствующих строки и столбца уже исчерпаны), то в любую из них ставится нуль и от нее продолжается процесс последовательного распределения поставок груза. Этот прием гарантирует получение в исходном плане необходимого количества занятых клеток, равного m+n–1. В методе "северо-западного угла" первоначальный план совершенно игнорирует стоимости перевозок, так что он значительно отличается от оптимального плана.

II. Метод наименьшей стоимости

В "методе наименьшей стоимости" учитывается матрица C транспортных издержек. Суть метода состоит в следующем: в первую очередь заполняются клетки с минимальной во всей таблице стоимостью перевозки груза (c_ij). Грузопоток x_ij определяется точно так же, как в методе "северо-западного угла", т. е. равняется наименьшему значению из остатка груза в i-м пункте отправления и недостающего груза в j-м пункте назначения.

В приведенном примере укажем последовательность заполнения клеток таблицы: , , , , , .

Заполненные клетки таблицы, даже с нулевыми поставками, называются загруженными клетками, а пустые – свободными.

7. Метод потенциалов-метод решения транспортной задачи

Решение транспортной задачи сводится к минимизации линейной функции

(1.14)

при ограничениях:

(1.13)

Проверка оптимальности плана и определение тех изменений, которые надо в него внести, могут производиться различными методами. Метод потенциалов основан на вычислении для каждого пункта производства и каждого пункта потребления особых показателей, названных потенциалами. Решение транспортной задачи этим методом состоит в нахождении такой системы потенциалов, при которой соблюдаются некоторые условия оптимальности. Идея этого метода принадлежит известному русскому математику Канторовичу.

Критерий оптимальности решения транспортной задачи:

Допустимый план является оптимальным в том и только том случае, если каждому пункту производства и каждому пункту потребления могут быть поставлены в соответствие такие числа u_i и v_j (называемые потенциалами), которые удовлетворяют следующим условиям:

– для свободных клеток таблицы;

– для загруженных клеток таблицы (x_ij > 0).

Объясним смысл этого положения. Если план оптимален, то грузам в пунктах отправления и назначения можно присвоить такие оценки (потенциалы), при которых перевозка из любого пункта отправления в любой пункт назначения не могла бы принести прибыль и чтобы в то же время перевозки, внесенные в план, являлись безубыточными.

Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов

Алгоритм состоит из предварительного шага и повторяющегося общего шага.

На предварительном шаге выполняется следующее:

1. составляется первоначальный план одним из методов (метод северо-западного угла, метод наименьшей стоимости);

2. для полученного плана определяется система потенциалов, т. е. находятся m+n чисел ; из системы m+n-1 линейных уравнений: , где номера i, j соответствуют загруженным клеткам таблицы. Поскольку число неизвестных превышает на единицу число уравнений, то одну из неизвестных полагаем равной произвольному числу, например . Остальные неизвестные находятся из указанной системы уравнений;

3. проверяется оптимальность плана по критерию оптимальности задачи. Такая проверка осуществляется, например, следующим образом. Для всех свободных клеток таблицы находим числа: . Если все числа , то критерий оптимальности выполняется. В противном случае – нет.

Общий шаг (применяется, если план, построенный на предыдущем шаге, не оптимален) состоит из трех этапов:

1. улучшение плана. Поскольку текущий план не является оптимальным, то существует свободная клетка таблицы, для которой справедливо неравенство . Свободную клетку таблицы, у которой положительное число является наибольшим, помечаем символом * (звездочка). Далее строим многоугольник, вершины которого лежат в загруженных клетках таблицы и в свободной клетке, помеченной звездочкой. Помечаем клетки-вершины полученного многоугольника попеременно знаками "+" и "–". Свободная клетка помечается знаком "+". Переход к новому плану перевозок груза осуществляется следующим образом. Наименьшая поставка, стоящая в клетках-вершинах многоугольника и помеченная знаком "–", прибавляется к перевозкам всех клеток-вершин, помеченных знаком "+", и вычитается из поставок всех клеток-вершин, помеченных знаком "–". В результате ранее свободная клетка становится заполненной (загруженной), а клетка, помеченная знаком "–", в которой стояла наименьшая поставка, превращается в свободную клетку. Общее число занятых клеток остается равным n+m–1. Если в пределах данного многоугольника минимальную поставку имели две клетки или более, то освобождаться может лишь одна из них, а остальные считаются загруженными с нулевыми поставками;

2. для полученного плана определяется система потенциалов;

3. проверяется оптимальность плана по критерию оптимальности задачи.