3.6 Прямолинейное движение

(p = 0, e = 1)

Попытка интегрирования уравнения

для прямолинейного движения не приводит к получению недостающего первого интеграла, содержащего явно время, а лишь определяет уравнение прямой в полярных координатах:

и v=const. Это уравнение показывает, что прямолинейная траектория всегда проходит через начало координат M0.

Для получения недостающего интеграла используем интеграл энергии. Модуль скорости в случае прямолинейного движения не содержит трансверсальной составляющей, т.е. , а интеграл энергии (1.40) для прямолинейного движения запишется в виде

(1.85)

Разделяя переменные, приходим к квадратуре

где τ - время прохождения через перицентр, совпадающее (в прямолинейном движении) с моментом соударения тел.

Левая часть уравнения (1.174) легко вычисляется, но результат зависит от знака постоянной интеграла энергии h.

Возможны следующие три случая:

,

, (1.86)

Для заданного момента времени t в случае h=0 величины r и r˙ легко вычисляются в конечном виде:

(1.87)

Для случаев h=0 при определении r приходится иметь дело с трансцендентными уравнениями, решать которые можно лишь приближенно с помощью численных методов.

Полагая, e=1, из формул эллиптического движения для определения значений r и r˙ получим систему уравнений:

(1.88)

определяющих прямолинейно-эллиптическое движение.

Аналогично из формул гиперболического движения получим

(1.89)

т.е. уравнения для прямолинейно-гиперболических движений.

Кеплеровскими элементами прямолинейной орбиты кроме уже использованных a, e =1 и τ являются также два угла, характеризующих направление прямой в пространстве.

Ориентация прямолинейной траектории в пространстве определяется вектором λ, исходящим из начала координат M0. Направление вектора λ можно задать двумя углами, например, долготой и широтой. Но чтобы для прямолинейной орбиты сохранить прежние кеплеровские элементы, необходимо из трех элементов Ω, ω и i выбрать два, играющих роль долготы и широты, а третий элемент положить равным некоторому значению, сохраняющему зависимости (1.90) и (1.91). Это можно осуществить, полагая, например, i = 90◦, а элементы Ω и ω тогда будут определять ориентацию прямой в пространстве. Возможны и другие способы выбора угловых элементов. Общее число независимых кеплеровских элементов прямолинейной орбиты равно четырем: a,τ,Ω и ω.

Для случая h=0 прямолинейно-параболическая орбита будет характеризоваться тремя независимыми элементами, так как величина a из элементов исключается (a →∞ при h →0). Наряду с круговым движением для прямолинейно-параболической орбиты определение координат и скоростей осуществляется по конечным формулам без использования приближенных методов решения нелинейных уравнений.

,

,

,

,

,

, (1.90)

где наклонение i положено равным 90◦.

Орбитальные координаты для прямолинейного движения не определены, так как не определена плоскость орбиты.

небесный орбита координата бине

Заключение

Небесная механика на протяжении всей истории ее становления была источником новых идей, методов и даже новых направлений в математике, традиционно являясь плодотворным полем приложения усилий для подавляющего большинства выдающихся ученых. Среди имен классиков точного естествознания (не только астрономов, но и математиков) практически отсутствуют такие, кто не отдал бы должную дань уважения небесной механике.

Не только в методы решения ее задач, но и в методику преподавания существенный вклад внесли и знаменитые деятели Российской науки (Л. Эйлер, М.В. Остроградский, А.М. Ляпунов, А.Н. Крылов, В.В. Степанов, И.В. Мещерский, Н.Д. Моисеев, М.Ф. Субботин, Г.Н. Дубошин).

С началом космической эры и бурным развитием космических исследований во второй половине ХХ века возникла новая научная дисциплина Астродинамика, изучающая движения искусственных небесных тел методами небесной механики. В отличие от классической небесной механики в астродинамике учитываются силы искусственного происхождения, а также различные силы негравитационной природы.

Прежде всего, это силы тяги ракетных двигателей, аэродинамические силы сопротивления среды, а также силы, возникающие от нецентральности гравитационных полей естественных тел Солнечной системы. Некоторые старые задачи небесной механики получили вторую жизнь в рамках астродинамики, где за короткое время было получено много выдающихся и даже удивительных результатов.

В курсовой работе изложены основы классической небесной механики. В главе 1 рассматриваются основы теории невозмущенного движения небесных тел, в главе 2 - основы классической теории возмущений. Глава 3 посвящена ”ограниченной задаче трех тел.

Список используемой литературы:

1. Е.П. Аксенов. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977.

2. Е.А. Гребеников, А. Козак-Сковородкина, М. Якубян. Методы компьютерной алгебры в проблеме многих тел. М. Изд-во Рос. ун-та дружбы народов. 2007.

3. Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971.

4. В.Г. Голубев, Е.А. Гребеников. Проблема трех тел в небесной механике. М. Изд-во. Моск. ун-та, 1985.

5. Г.Н. Дубошин. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975.

6. Г.Н. Дубошин. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1964.

7. А.П. Маркеев. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978.

8. К. Маршал. Задача трех тел. М.-Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2004.

9. В. Себехей, Теория орбит. М.: Наука, 1982.

10. М.Ф. Субботин. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968.

11. А. Уинтнер. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.

12. К.В. Холшевников, В.Е. Титов. Задача двух тел. Санкт- Петербург: Изд-во СПбГУ, 2007.

13. К. Шарлье. Небесная механика. М.: Наука, 1966.

14. Е. Штифель, Г. Шейфеле. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975.

15. П.Е. Эльясберг. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965.

Размещено на Allbest.ru