Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжская государственная социально-гуманитарная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplom_ispravlennyy.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.09.2019

Размер:

145.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

1) Пусть , . Тогда уравнения (18) примет вид:

Решим полученное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения запишется в виде , где и – произвольные постоянные, а функции , образуют фундаментальную систему данного уравнения. Чтобы её решить запишем и решим характеристическое уравнение.

или .

Тогда фундаментальная система решений данного дифференциального уравнения имеет вид: , . Итак, общее решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:

Подчиняя общее решение граничным условиям (19) и(20), получим систему относительно неизвестных и :

Система будет иметь не нулевое решение лишь в том случае, когда главный определитель равен нулю.

Определитель системы равен 0 лишь при , но по предположению , следовательно, система имеет единственное тривиально решение, что нам не подходит.

2) Пусть . Тогда уравнение (18) примет вид

Решим полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Для этого продифференцируем его дважды по переменной .

Полученное выражение для функции является общим решением полученного дифференциального уравнения.

На основании граничного условия (20) получаем, что

С точностью до постоянного множителя.

3) Пусть . Тогда общее решение уравнения (18) имеет вид:

Подчиняя общее решения граничным условиям (20) и (21) получаем систему:

Однородная система имеет не нулевое решении тогда, когда главный определитель системы равен нулю.

Главный определитель системы будет равен нуль лишь при , . Таким образом, собственными значениями задачи (18), (20), (21) являются числа

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

определяемые с точностью до постоянного множителя.

Задача (18), (20), (21) имеет собственные значения

, , , (22)

и собственные функции

, . (23)

Проверим являются ли функции попарно ортогональными к собственными функциям . Для этого вычислим интеграл

Видим, что собственные функции попарно не ортогональны к собственной функции (так как ), и их система не полна и тем более не образует базис в . Дополним систему собственных функций до полной присоединенными функциями.

Присоединенную функцию , отвечающую тому же , что и собственная функция , определим как решение краевой задачи

, (24)

, , , (25)

где – произвольная постоянная.

При уравнение (24) примет вид

Из последних двух равенств учетом равенств (25) получаем , что невозможно, так как . Следовательно, при задача (24), (25) решений не имеет.

Положим . Тогда для уравнение (24) примет вид:

, (26)

где .

Общее решение уравнения (26) будем искать в виде: где – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения второго порядка, а – частное решение неоднородного дифференциального уравнения (26).

Выше мы нашли, что .

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (26) будем искать в виде: где и неизвеcтные постоянные. Найдем эти неизвестные, для этого подставим частное решение в уравнение (26), получим:

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах приходим к системе

Тогда , а общее решение примет вид:

(27)

Подчиняя равенство (27) граничным условиям (25) получаем

Итак . В силу произвольности положим .

Итак, присоединенные функции будут иметь вид:

Переобозначим систему собственных и присоединенных функций следующим образом:

, , (28)

, , , . (29)

Отметим, что здесь каждому собственному значению из (28), кроме , отвечает одна собственная функция и одна присоединенная функция . Согласно теореме Келдыша, система корневых функций (29) задачи (18), (20), (21) является полной в Но для решения исходной задачи (10),(11), (13)-(15) одной полноты систему функций (29) недостаточно, т.е. система (29) должна обладать свойством базисности. Тогда по этой системе можно однозначно разложить в ряд любую функцию из . Рассмотрим следующую задачу:

(30)

(31)

Замети, что задача (30), (31) является сопряженной к задаче (18), (20), (21), так как выполняется условие сопряженности:

Найдем собственные и присоединенные функции задачи (30), (31).

1. Пусть , . Тогда общее решение уравнения (30) будет иметь вид:

где и – произвольные постоянные. Подчиняя общее решение граничным условиям (31), получим систему относительно неизвестных и :

Система будет иметь не нулевое решение лишь в том случае, когда главный определитель равен нулю.

Определитель системы равен 0 лишь при , но по предположению, следовательно, система имеет единственное нулевое решение, что нам не годиться.

2. Пусть . В этом случае общее решение уравнения будет иметь вид:

На основании граничного условия (31) получаем, что

где – произвольное действительное число.

3) Пусть . Тогда общее решение уравнения (30) имеет вид:

Подчиняя общее решения граничным условиям (31) получаем систему:

Система имеет ненулевое решение лишь в том случае, когда Это возможно лишь при где Следовательно, являются собственными значениям, а – собственными функциями задачи (30), (31).

Итак, задача (30), (31) имеет следующие, собственные функций:

Найдем , . Система собственных функций должны удовлетворять условию нормировки, т.е.

(33)

Подчиняя равенство (33) условию нормировки, получаем, что

Подчиняя равенство (34) условию нормировки получаем, что .

Система собственных функций задачи (30), (31) принимает вид:

Построим систему присоединенных функций для задачи (30), (31). Для этого решим следующую задачу для тех же самых :

(35)

(36)

При задача (35), (36) не имеет решений.

Общее решение уравнения (35) будем искать в виде: где – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения второго порядка, а – частное решение неоднородного дифференциального уравнения (35).

Выше мы нашли, что .

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (35) будем искать в виде: где и неизвестные постоянные. Найдем эти неизвестные, для этого подставим частное решение в уравнение (35), получим:

Данное равенство выполняется лишь при . То есть частное решение уравнения (35) будет иметь вид:

Тогда общее решение уравнения (35) будет иметь вид:

(37)

Подчиняя общее решение (37) граничным условиям (36), получаем:

где – произвольная постоянная. Пусть , тогда присоединенные функции задачи (30), (31) будут иметь вид:

Итак, система собственных и присоединенных функций задачи (30), (31) имеет вид:

, , , (38)

, ,

, (39)

Системы функций (29) и (39) образуют биортогональную систему функций, т.е.

и удовлетворяют необходимому и достаточному условию базисности в пространстве .

Рассмотрим функции:

(40)

(41)

. (42)

На основании (41) – (42) введем функции:

(43)

(44)

(45)

где ε – достаточно малое число. Дифференцируя равенства (43) – (45) по , один раз, получим:

, (46)

, (47)

. (48)

В интегралах (46) – (48) интегрируя по частям два раза и переходя к пределу при с учетом граничных условий, получим:

Итак, получили следующие обыкновенные дифференциальные уравнения:

, (49)

, (50)

. (51)

Как видно уравнения (49), (50) совпадают с уравнением (19) при А уравнение (51) определяют как присоединенную функцию. Решим эти дифференциальные уравнения.

Продифференцируем уравнение (49) по переменной , получим

(52)

где – произвольная постоянная.

Итак, функция вида (52) является общим решение обыкновенного дифференциального уравнения (49).

Дифференциальное уравнение (50) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

Получили дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Продифференцируем полученное равенство, получим

(53)

где – произвольная постоянная.

Итак, функция вида (53) является общим решение обыкновенного дифференциального уравнения (50).

С учетом равенства (53) уравнение (51) принимает вид:

. (54)

Решение дифференциального уравнения (54) будем искать методом Бернулли. Пусть . Тогда Подставив выражение функции, и ее производной в уравнение (54) получим: