- •1. Сформулируйте определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. Сформулируйте теорему Фробениуса-Перрона.
- •2. Сформулируйте 1-ый критерий продуктивности.
- •4.Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.
- •6. Приведите примеры задач линейного программирования на минимум ( задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов): текстовую формулировку и математическую постановку задачи.
- •7. Приведите общую постановку злп. Дайте определения следующим терминам: целевая функция, допустимое множество задачи, оптимальное решение, оптимальное множество.
1. Сформулируйте определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. Сформулируйте теорему Фробениуса-Перрона.
Определение: Максимальное по модулю собственное значение λА неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор А - вектором Фробениуса для А.
Теорема Фробениуса-Перрона: Для любой неотрицательной матрицы А>=0 существует собственное значение λА>=0 (называемое числом Фробениуса) такое, что λА>=⃒λ⃒ для любого собственного значения λ матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор xА>=0, соответствующий собственному значению λА и называемый вектором Фробениуса. Причем, если А>0, то λА>0 и вектор xА>0.
2. Сформулируйте 1-ый критерий продуктивности.
Матрица А>=0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.
3. Сформулируйте 2-ой критерий продуктивности.
Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше 1.
4.Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.
Пусть А>0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число α>0, что все матрицы λА, где 1<λ<1+α, продуктивны, а матрица (1+α)*А не продуктивна.
Выведение формулы: 1) А; 2) E-λA; 3) |E-λA|=0; 4) α=λ-1.
5. Запишите структурную таблицу межотраслевого баланса Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления через известные элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.
Матрица Леонтьева:
A= |a11 a12|
|a21 a22|
|E-A|= | 1-a11 a12 |
| a21 1-a22 |
|E-A|-1= 1/((1-a11)(1-a22)-(a21*a22)) * |1-a22 -a21 |
|-a12 1-a11|
_ _
X=|E-A|-1 * Y _ _ _
Модель равновесных цен: P=ATp + v, где вектор v=(v1, v2, … ,vn)T – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что вектор х заменен на вектор р, вектор y – на вектор v, матрица А заменена на транспонированную – AT.
Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.
6. Приведите примеры задач линейного программирования на минимум ( задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов): текстовую формулировку и математическую постановку задачи.
Задача о диете. Пусть имеется 2 вида продуктов П1 и П2, содержащих питательные вещества А, В, С. В 1кг продуктов П1 и П2 содержится определенное количество питательных веществ того или иного вида.
Известно: a, b, c – ежесуточное потребление А, В и С соответственно.
s1,s2 – стоимости 1 кг продуктов П1 и П2 соответственно.
Требуется рассчитать количество x1 продукта П1 и количество x2 продукта П2 так, чтобы обеспечить необходимое количество питательных веществ при min затратах на продукты.
Общая стоимость продуктов будет f = s1x1 + s2x2
Математическая задача о диете состоит в отыскании значений неизвестных x1, x2, удовлетворяющих условиям:
и f = s1x1 + s2x2 min
Задача об использовании ресурсов. Пусть ресурсы трех видов R1, R2, R3 имеются в количествах соответственно b1,b2,b3 в у.е.
Т1,Т2 – выпускаемые предприятием товары.
aij- число единиц ресурса Ri (i = 1, 2, 3), необходимое для производства единицы товара Ti (j = 1, 2).
с1,с2 – доход с единицы каждого вида товаров.
х1, х2 – количество товаров Т1 и Т2.
Доход предприятия f = c1x1 + c2x2.
Математическая задача об использовании ресурсов состоит в отыскании значений неизвестных x1, x2,
удовлетворяющих условиям:
и f = c1x1 + c2x2 max