- •1. Определение линейного пространства.
- •3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.
- •4. Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
- •5. Определение ортогональной системы векторов.
- •8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
- •9. Определение ранга матрицы
- •10. Понятия вырожденной и невырожденной матриц.
- •21. Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.
- •27. Определение k - плоскости. Гиперплоскость.
- •28. Определение и свойства выпуклого множества.
- •29. Определение и примеры кривых второго порядка.
- •30. Определение и примеры поверхностей второго порядка.
- •1. Неравенство Коши-Буняковского.
- •2. Неравенство треугольника.
- •3. Линейная независимость лестничной системы векторов.
- •4. Однозначность разложения вектора по базису.
- •11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.
- •12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.
- •14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.
- •15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.
- •16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
- •17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
- •18. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •19. Вывод канонического уравнения гиперболы.
- •20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств.
8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. (вики)
Или:
Базис линейного пространства решений однородной системы называется фундаментальным набором решений этой системы. (учебник)
9. Определение ранга матрицы
Рангом матрицы A (обозначается rk A) называется ранг системы векторов, образуемых строками матрицы.
10. Понятия вырожденной и невырожденной матриц.
Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.
№ 11. Определение ортогональной матрицы.
Квадратная матрица O называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему векторов. Это условие можно записать в виде одного матричного равенства: O x OT = E
№ 12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц
Произведением матрицы A = (a i j ) размера m x n на матрицу B = (b i j ) размера n x s, элементы которой определяются формулой:
c ik = ai1b1k + a i2b2k + … + ainbnk ,
где i = 1,2....,m; k = 1,2......s.
Свойства:
(AB)C = A(BC)
A(B+C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
λ(AB) = (λA)B = A(λB)
(AB)T = BT AT
№ 13. Определение обратной матрицы и ее свойства
Пусть A — квадратная матрица n x n. Матрица B (того же размера) называется обратной для A, если AB = BA = E
Обратную матрицу A обычно обозначают А-1
Свойства:
(AT)-1 = (A-1) T
(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1 A-1
№ 14. Свойства определителей
если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю
при перестановке любых двух строк определитель умножается на -1
определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю
общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя
если элементы некоторой строки определителя Δ представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Δ1 и Δ2. В определителе Δ1 указанная строка состоит из первых слагаемых, в Δ2 – из вторых. Остальные строки определителей Δ1 и Δ2 – те же, что и в Δ
величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженное на какое угодно число
сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю
определитель матрицы A равен определителю транспонированной матрицы А-1
определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть |A x B| = |A| x |B|
№ 15. Теоремы о целых и рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами
Рассмотрим многочлен f(t) = fntn + … + f1t + f0 степени n с целыми коэффициентами и пусть p/q – рациональный корень этого многочлена, причем дробь p/q несократима. Тогда p делит f0 , а q делит fn
№ 16. Теорема Безу и следствия из нее
Остаток от деления многочлена f(t) на многочлен t – t0 равен f(t0)
Следствие:
Многочлен f(t) делится на t – t0 тогда и только тогда, когда t0 является корнем многочлена f(t)
№ 17. Определение модуля и аргумента комплексного числа
Длину вектора z, соответствующего комплексному числу z, называют модулем этого числа z. Угол φ между вектором z и положительным направлением оси Ox называют аргументом комплексного числа z.
Модуль комплексного числа обозначают |z|, а аргумент — Arg z
№ 18. Формула Муавра
Если z = |z|(cos (φ) + i sin (φ)), то zn = |z|n (cos (nφ) + i sin (nφ)
№ 19. Основная теорема алгебры
Многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней (с учетом кратностей)
№ 20. Определение линейного преобразования
Отображение f линейного пространства V в себя называется линейным преобразованием, если для любых векторов x, y є V и для любого λ є R выполняются равенства f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x)