2.3.5 Условная вероятность
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место другое влияющее событие В, называется -условной вероятностью и обозначается Р(А/В).
Пусть А - любое событие из пространства элементарных событий Q, и В - некоторое другое событие из того же пространства, причем Р(В)0. Условная вероятность события А при условии, что произошло событие В, определяется как
Р(А/В)=lim(пв(А)/пв),
где пв -число исходов, при котором появляется событие В,
пв(А) - число исходов, при которых кроме В появляется и событие А. Выражая условную вероятность через вероятности соответствующих множеств, имеем
Р(А/В) - Р(А В)/Р(В). (3.16)
В силу симметрии
Р(В/А)=Р(А В)/Р(А) при Р(А) (3.17)
Из(3. 16) и (3.17) следует
Формула (3.18) отображает собой теорему умножения вероятностей.
Два события А и В называются независимыми, если их условные вероятности не зависят от условий В и А соответственно, т.е. если имеют место соотношения
Р(А/В) = Р(А) и Р(В/А) = Р(В)
В этом случае в соответствии с (3.18) получаем уравнение, характеризующее независимые события
Р(А В) = Р(А).Р(В). (3.19)
На основе полученных результатов можно выделить наиболее важные формулы для вычисления вероятностей.
Общие формулы
Если есть дополнение А, то Р(А)+Р( ) =1
Для двух событий А и В
Последнее уравнение можно проиллюстрировать диаграммой Венна.
Независимые события
P(A B)=P(A).P(B);
P(A B) =Р(А) + Р(В) - Р(А).Р(В).
Несовместные события
Р(А В) =0; Р(А U B) = Р(А) + Р(В).
2.3.6 Теорема о полных вероятностях и формула Байеса
Случай полной вероятности рассмотрим вначале на частном
примере.
Пример 3.6: В ОТК из лопаточного цеха завода поступила партия лопаток для турбокомпрессора в 2000 шт., изготовленных на двух станках: на первом станке произведено 1200 лопаток, на втором - 800. Процент бракованных лопаток для первого станка составляет 4%, для второго - 1%. Насколько велика вероятность выбора из партии бракованной лопатки?
Пусть событие Ai - выбор детали, изготовленной на первом станке, А2- аналогично вторым станком, В - выбор детали с браком. Требуется определить вероятность события В.
События A1 и А2 - несовместны, следовательно
Al A2=Ø, P(B/A1) = 0,04, Р(В/А2) = 0,01;
Событие В может появиться либо с событием А1, либо с событием А2
В=(А1 В) U (А2 В).
Так как события A1 В и А2 В взаимно исключают друг друга, то в соответствии с (3.14)
Р(В) = Р(А1 В) + Р(А2 В).