16. Смысл произвед-я и частного натур-х чисел, полученных в рез-те измер-я величин. Примеры заданий из нач. Курса матем-ки, раскрыв-х смысл произвед-я и частного натур-х чисел – мер величин.

Опред-е величины и натур. числа как рез-т измерения положит-ой скалярной величины – см. вопр. 17.

Умнож-е:

Если отрезок х состоит из а отрезков, длина кот-х равна Е, а отрезок длинны Е состоит из в отрезков, длина кот-х равна Е1,то мера длины отрезка х при ед-це длинны Е1 будет равна а•b. В рез-те умнож-я происходит переход от одной ед-цы измер-я к др., более мелкой.

Если натур-е число а – мера длины отрезка х при ед-це длины Е, натур-е число b – мера длины Е при ед-це длины Е₁, то произвед-е a•b – это мера длины отрезка х при ед-це длины Е₁.

a=m_E(A)

b=m_E1(E)

a•b=m_E1(A)

a•b=m_E(A)•m_E1(E)=m_E1(A)

Деление:

Если отрезок х состоит из а отрезков, длинf кот-х равна Е, а отрезок длины Е1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при ед-це длинны Е1 равна а:в. В рез-те деления происх-т переход от одной велич-ы к др., причем к более крупной.

Если натур-е число а – мера длины отрезка х при ед-це длины Е, а натур-е число b – мера новой ед-цы длины Е₁ при ед-це длины Е, то частное a:b – это мера длины отрезка х при ед-це длины Е₁.

а=m_E(A)

b=n_E(E₁)

a:b=m_E1(A)

из всего этого => a:b=m_E1(А)

a:b=m_E(A):m_E(E₁)=m_E1(A).

Примеры заданий:

Умнож-е:

1) В магазине было 3 ящ. апельсин по 15 кг в каждом. Ск-ко всего кг апельсин было в магазине?

Кол-во ящиков – 3

Масса 1 ящика – 15 кг

Общая масса всех апельсин – ? кг

Масса – 3ящ.=3•1ящ.=3•15•1кг=45•1кг=45кг

2) Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Ск-ко кг муки купили?

В задаче рассматр-ся масса муки, кот. сначала измерена пакетами, известно численное знач-е этой массы. Треб-ся узнать рез-т измер-я этой же массы муки, но уже при пом. другой ед-цы – кг, при условии, что 1 пакет – это 2 кг муки.

3 пак=3•пак=3•(2кг)=3•2•кг=(3•2) кг

Деление:

1) В магазин привезли 45 кг апельсин. Их разложили в ящики по 15 кг в каждый. Ск-ко понадобилось ящиков?

Кол-во ящиков - ? ящ.

Масса 1 ящика – 15 кг

Общая масса всех апельсин – 45 кг

45кг=45•1кг=45•(1:15)•1ящ.=(45:15)•1ящ.=3ящ.

1кг=(1:15)•1ящ.

(1:15) – мера величины в 1кг при Е в 1 ящик

2) 6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Ск-ко получится пакетов?

В задаче рассматр-ся масса муки, кот. сначала измерена при пом. ед-цы массы – кг, известно ее числ-е знач-е. Треб-ся найти рез-т измер-я этой же массы, но уже при пом. др. ед-цы – пакета, причем известно, что 1 пакет – это 2 кг.

6кг=6•кг=6•1\2 пак=(6:2) пак.

17. Теоретико-множ. смысл отнош-й «Х > (<) Y на a», «Х > (<) Y в a раз», заданных на мн-ве целых неотриц-х чисел. Связь этих отнош-й с операциями над числами, их моделирование с пом. отрезков. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, раскрыв-их связь данных отнош-й с операц-ми над целыми неотриц-ми числами.

Отнош-е «Х > (<) Y на a»

Из того, что a<b тогда и только тогда, когда сущ-ет такое натур-е число с, что a+b=c, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».

Если а=n(A), b=n(B) и a<b, то, исходя из теоретико-множ. смысла отнош-я «меньше», в мн-ве В м. выделить собственное подмн-во В₁, равномощное мн-ву А, и непустое мн-во В\В₁. Если число эл-тов в мн-ве В\В₁ обозначить через с (с≠0), то в мн-ве В будет столько же эл-тов, ск-ко их в А, и еще с эл-тов: n(B)=n(A)+n(B\B1) или b=a+c, что означет, что «а меньше b на с» (или «b больше а на с»).

Итак, с теоретико-множ. т. зр. «a меньше b на c» или «b больше а на с» означ-т, что если a=n(A), b=n(B), то в мн-ве В содержится столько эл-тов, сколько их в А, и еще с эл-тов.

Чтобы узнать, на ск-ко одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.

Отнош-е «Х > (<) Y в a раз».

Чтобы узнать, во ск-ко раз одно число больше или меньше др., надо большее число разделить на меньшее.

Если a=n(A), b=n(B) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку a<b, то в мн-ве В м. выделить собственное подмн-во, равномощное мн-ву А, но т.к. а меньше b в с раз, то мн-во В м. разбить на с подмн-в, равномощных мн-ву А.

Т.к. с – число подмн-в в разбиении мн-ва В, содержащего b эл-тов, в каждом подмн-ве – а эл-тов, то c=b:a.

Теоретико-множ. смысло отнош-я «a больше (меньше) b в c раз» м. воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач.

Связь отнош-й с операциями над числами.

Примеры заданий.

а) Отнош-е «Х > (<) Y на a»

На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Ск-ко ложек на столе?

В задаче рассм-ся 2 мн-ва: мно-во чашек (А) и мн-во ложек (В); n(A)=5, n(B) – надо найти при условии, что в В на 2 эл-та больше, чем в А. Отнош-е «больше на 2» означ., что в мн-ве В эл-тов столько же, сколько их в А, и еще 2 эл-та.

n(B)=n(B1)+n(B\B1)=5+2=7

б) Отнош-е «Х > (<) Y в a раз».

На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Ск-ко берез растут на участке?

В задаче речь идет о 2х мн-вах: мн-ве елей (А) и мн-ве берез (В). Известно, что n(A)=3 и что в мн-ве В эл-тов в 2 раза больше, чем в мн-ве А. Требуется найти n(B).

Т.к. в мн-ве В эл-тов в 2 раза больше, чем в мн-ве А, то мн-во В м. разбить на 2 подмн-ва, равномощных мн-ву А. Поскольку в каждом из подмн-в по 3 эл-та, то в мн-ве В будет 3+3 эл-тов или 3•2 эл-тов.

18. Позиц-е и непозиц-е сист-ы счисл-я (СС). Особ-ти десятичной СС. Правило установл-я отнош-й «равно», «меньше», «больше» для чисел, записанных в этой СС. Примеры заданий из нач. курса матем-ки, при выполнении кот-х мл. шк-ки знакомятся с особ-тями десятичной СС.

СС – язык для наименов-я, записи чисел и вып-ния действий над ними.

Нумерация – язык для наименования и записи чисел.

Т.е. СС – нумерация + действия над числами.

Различают позиционные и непозиционные СС.

В позиционных СС один и тот же знак м. обозначать различ-е числа в завис-ти от места (позиции), заним-го этим знаком в записи числа. Напр.: десятеричная, шестидесятеричная вавилонская.

Непозиционные СС характериз-ся тем, что кажд. знак всегда обознач-т одно и то же число, независ. от места, заним-го этим знаком в записи числа. Напр.: римская СС (I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000; все ост-е числа получ-ся при пом. слож-я и вычит-я; IV – 4, XC – 90).

Особ-сти десятичной СС.

Десятичной записью натур-го числа х назыв. его предст-е в виде: х=a_n•10ⁿ+a_n-1•10^n-1+…+a₁•10+a₀, где коэффициенты a_n, a_n-1,…, a₁, a₀ приним-т знач-я 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а₀≠0.

Сумму a_n•10ⁿ+a_n-1•10^n-1+…+a₁•10+a₀ в краткой форме принято записывать так: a_na_n-1…a₁a₀.

Особ-ти:

- для записи чисел использ-ся 10 знаков (цифр: от 0 до 9);

- основание СС – число 10;

- из цифр образ-ся конечные послед-ти, кот. явл-ся краткими записями чисел (напр.: послед-ть 3745 явл-ся краткой записью числа 3•10³+7•10²+4•10+5;

- любое натур-ое число м. представить в виде суммы разряд. слаг-х, и для кажд. числа х такая сумма будет единственной;

- 10 ед-ц одного разряда сост-ют одну ед-цу след-го высшего разряда;

- три первых разряда в записи числа назыв. первым классом или классом ед-ц; 4й, 5й и 6й разряды (ед-цы тысяц, десятки тысяч, сотни тысяч) – классом тысяч; след. класс – класс миллионов;

- названия числам даются след. образом: имеются назв-я 1х десяти чисел, из них образ-ся назв-я послед-их чисел.

Отнош-я «=», «<», «>» для чисел, запис-х в десятич. СС.

1) x<y

Пусть даны два натуральных числа х и у.

х = a_n * 10ⁿ + a_n-1 * 10^n-1 + … + a₁ * 10 + a₀

y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-1 + … + b₁ * 10 + b₀

где a_n, a_n-1, …, a₁, a₀; b_m, b_m-1, …, b₁,b₀ – однозначные числа, тогда х<y, если выполняется одно из условий:

1) n<m;

2) n=m, но a_n<b_n;

3) m=n, a_n=b_n, …, a_k=b_k, но a_k-1<b_k-1.

2) x>y

Пусть даны два натуральных числа х и у.

х = a_n * 10ⁿ + a_n-1 * 10^n-1 + … + a₁ * 10 + a₀

y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-1 + … + b₁ * 10 + b₀

где a_n, a_n-1, …, a₁, a₀; b_m, b_m-1, …, b₁,b₀ – однозначные числа, тогда х>y, если выполняется одно из условий:

1) n>m;

2) n=m, но a_n>b_n;

3) m=n, a_n=b_n, …, a_k=b_k, но a_k-1>b_k-1.

3) x=y

Пусть даны два натуральных числа х и у.

х = a_n * 10ⁿ + a_n-1 * 10^n-1 + … + a₁ * 10 + a₀

y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-1 + … + b₁ * 10 + b₀

где a_n, a_n-1, …, a₁, a₀; b_m, b_m-1, …, b₁,b₀ – однозначные числа, тогда х=y, если:

1) n=m;

2) a_n=b_n,…, a_n-1=b_n-1, …, a₁=b₁ и a₀=b₀/

Примеры заданий.

В курсе матем-ки в нач. шк. предст-е числа в десятичной СС назыв-ся представл-ем числа в виде суммы разряд-х слаг-ых:

4382=4000+300+80+2

Ознак-е уч-ся с десят. СС происх-т в процессе всего О. в нач. шк.: сначала дети знаком. с этими особ-тями на этапе изуч-я чисел 1го десятка, получая предст-е о таких понятиях как «разряд ед-ц». Затем познания детей расширяются на этапе изуч-я натур. чисел в концентре сотни. Вводятся понятия 1й и 2й разряд, разряд ед-ц, разряд дес., однознач. и двузнач. число, счет. ед-ца – десяток, и т.д. Дети осознают, что 10 ед-ц разряда ед-ц = 1 ед-це разряда дес. (и т.д.)

См. Истомина.

2 кл.: стр. 112 №339; стр. 103 №303.

3 кл.: №486.; стр. 147 №492, №494.