13.Необхідні і достатні умови існування екстремуму.

Необхідні умови існування екстремуму.

Теорема.1. Якщо диференційована функція  має в точці  екстремум, то .

Теорема 2. У точці екстремуму функції кількох змінних кожна її частинна похідна першого порядку або дорівнює нулю, або не існує.

Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

Теорема. Нехай в околі критичної точки  функція  має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз

.

Тоді

1) якщо , то в точці  функція  має екстремум; максимум, якщо , і мінімум, якщо ,

2) якщо  , то в точці  функція  екстремуму не має.

У випадку , коли , екстремум в точці  може бути, може і не бути.

14.3Астосування похідної до дослідження функцій на монотонність.

Щоб дослідити функцію на монотонність, скористайтесь такою схемою:

- знайдіть область визначення функції;

- знайдіть похідну функції і область визначення похідної;

- знайдіть нулі похідної, тобто значення аргументу, при яких похідна дорівнює нулю;

- на числовому промені позначте спільну частину області визначення функції і області визначення її похідної, а на ній — нулі похідної;

- визначте знаки похідної на кожному з отриманих проміжків;

- за знаками похідної визначте, на яких проміжках функція зростає, а на яких спадає;

- запишіть відповідні проміжки через крапку з комою. 15.3астосування похідної до дослідження функцій на екстремум.

Щоб дослідити функцію на екстремуми, знайдіть знаки похідної на її області визначення, користуючись схемою для дослідження функції на монотонність. Визначте, які з критичних точок є точками екстремуму.

Якщо необхідно знайти екстремуми функції, знайдіть значення функції в точках екстремуму.

16.Найбільше і найменше значення функції на проміжку.

Якщо функція  неперервна на відрізку , то вона досягає на ньому найбільше і найменше значення. Їх позначають  та  на відрізку  і називають глобальним максимумом та глобальним мінімумом відповідно. Ці значення можуть досягатися у точках локального екстремуму або на кінцях проміжку

Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функції на проміжку така:

- Знайдіть похідну функції і її критичні точки;

- Знайдіть значення функції на кінцях проміжку;

- Знайдіть значення функції в критичних точках, які належать заданому проміжку;

- З усіх знайдених значень функції оберіть найбільше і найменше.

17.3Агальна схема дослідження функції та побудова її графіка.

Досліджувати функцію рекомен­дується за такою схемою: 1. Знайти область визначення функції. 2.Дослідити функцію на парність– непарність, на періодичність, встановити точки перетину графіка з осями координат та інтервали знакосталості функції. 3. Проаналізувати поведінку функції в нескінченності. Знайти вертикальні та похилі асимптоти графіка функції. 4. Визначити екстремуми та інтервали монотонності функції. 5. Знайти інтервали опуклості і увігнутості функції та точки перегину.

6.  Знайти екстремальні точки функції і побудувати їх на площині.

7.  На основі дослідження побудувати графік функції. Для зручності побудови графіка результати дослідження записують у таблицю.