1.11.1.6. Интегральный признак Коши-Маклорена

Пусть числовой ряд с положительными членами.

Теорема.

Пусть члены ряда удовлетворяют следующим условиям:

1) составляют монотонную невозрастающую последовательность

а₀  а₁  а₂  а₃  ...  а_n  ...;

2) можно построить монотонную невозрастающую функцию y = f(x) такую, что f(0) = a₀; f(1) = a₁; f(2) = a₂; ... ; f(n) = a_n; ... ;

3) несобственный интеграл - сходится, тогда заданный ряд также сходится. Если же интеграл расходится, то и ряд расходится.

Доказательство.

Составим частичную сумму S_n = a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n.

Поскольку a_i = f(i)  1, то

S_n = f(0)1 + f(1)1 + f(2)1 + ... + f(n)1

Рис. 1

Каждое слагаемое частичной суммы есть площадь прямоугольника с основанием единица и высотой, равной f(i) (Рис. 1). Добавление к частичной сумме нового члена ряда означает добавление новой площади, а потому S_n  S_n+1, то есть последовательность частичных сумм неубывающая.

Рассмотрим частичную сумму S_n-1 = a₀ + a₁ + ... + a_n-1 и примем за a_i площадь прямоугольника, лежащего справа от f(i), т. е. с большей высотой. Тогда получим сумму площадей прямоугольников, часть которых расположена над кривой f(x). Эта площадь равна S_n-a_n. Рассмотрим сумму

а₁ + а₂ + ... + а_n = S_n - a₀.

Каждое слагаемое этой суммы есть площадь прямоугольника с основанием, равным единице, и маленькой высотой. Тогда сумма а₁ + а₂ + ... + а_n = S_n - a₀ есть сумма площадей прямоугольников, лежащих под кривой f(x). Рассмотрим

.

С геометрической точки зрения этот интеграл есть площадь фигуры, ограниченная кривой f(x) при 0  x < n и осью Ох.

Тогда из рис. 1 имеем

S_n - a₀  J_n  S_n - a_n  S_n  J_n + a₀.

По условию теоремы существует предел

,

тогда S_n  J+a₀. Таким образом, последовательность {S_n} ограничена сверху, а потому имеет предел, значит, ряд сходится.

Если , то учитывая, что S_n > J_n+a_n, откуда следует, что ряд расходится.

Доказанная теорема называется интегральным признаком Коши-Маклорена.

Пример.

Исследовать на сходимость обощенный гармонический ряд .

Решение. Члены ряда составляют монотонно убывающую последовательность .

Следовательно, функцией f(x) будет .

Рассмотрим и .

;

Тогда

Если р=1, то имеем - гармонический ряд, расходимость которого доказана ранее.

Ряд сходится при р>1 и расходится при р  1.

1.11.2. Знакопеременные ряды

Прежде чем рассматривать ряды с членами произвольных знаков, расмотрим их частный случай, а именно ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, такие ряды называются знакочередующимися.

Знакочередующийся ряд, если первый член положителен, можно записать в виде:

U₁ - U₂ + U₃ - U₄ + ... + (-1)ⁿ⁺¹U_n + ... , где U_n>0, n=1, 2, 3, ... .

1.11.2.1. Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда

U₁ - U₂ + U₃ - U₄ + ...

монотонно убывают по абсолютной величине, т. е.

U₁  U₂  U₃  ...  U_n  U_n+1  ...

и общий член ряда стремится к нулю, , то:

1. ряд сходится;

2. его сумма не превосходит величины первого члена ряда

;

3. модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена (первого члена остатка):

r_n  U_n+1; и имеет знак своего первого члена.

Доказательство.

Построим S_2n = U₁ - U₂ + U₃ - U₄ + ... + U_2n-1 - U_2n = (U₁ - U₂) +

+ (U₃ - U₄) + ... + (U_2n-1 - U_2n).

Поскольку любая скобка в этой сумме больше нуля, то последовательность {S_2n} возрастающая. Докажем, что она ограниченная. Для этого представим S_2n следующим образом:

S_2n = U₁ - [(U₂ - U₃) + (U₄ - U₅) + ... + (U_2n-2 - U_2n-1) + U_2n] < U₁

Итак, последовательность {S_2n}монотонно возрастающая, ограниченная и, следовательно, сходящаяся. Пусть .

Чтобы доказать сходимость ряда, нужно доказать еще, что последовательность частичных сумм нечетного числа членов этого ряда также сходится и имеет предел, равный S.

Так как S_2n+1 = S_2n + U_2n+1 и U_2n+1  0 (по условию), то

Заметим, что для суммы S ряда (1) справедливо соотношение 0<S<U₁. Действительно, частные суммы четных номеров S_2n приближаются к сумме S, возрастая, следовательно, S>S_2n при любом n. Кроме того, S_2n>0 (n=1, 2, ...), а значит и S>0. Частичные суммы нечетных номеров S_2n+1 можно записать в виде:

S_2n+1 = U₁ - (U₂ - U₃) - ... - (U_2n - U_2n+1).

Отсюда видно, что последовательность {S_2n+1} монотонно убывающая и что S_2n+1<U₁ при любом n. Так как S<S_2n+1 при любом n, то, следовательно, S<U₁. Суммируя сказанное, получаем: 0<S<U₁.

Рассмотрим теперь остаток ряда, умноженный на (-1)ⁿ

(-1)ⁿ r _n= U_n+1 - U_n+2 + ...

Это ряд. По доказанному ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена, то есть r_n < U_n+1.

Теорема доказана.

Пример

Ряд сходится по признаку Лейбница. Этот ряд отличается от гармонического только знаками членов четных номеров.

Пример

Ряд cходится по признаку Лейбница:

.

Если положить его сумму S приближенно равной сумме первых шести членов этого ряда, то получим ошибку, абсолютная величина которой меньше, чем

, S  0,907.