1.5.15.7. Теоремы о достаточных условиях перегиба графика функции

Теорема 1. (первое достаточное условие перегиба).

Пусть функция f(x)

1) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки С;

2) , тогда, если существует окрестность, в пределах которой вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки C, то график этой функции имеет перегиб в точке М(с,f(с)).

Замечание 1. Сформулируем обобщение теоремы 1. При определении точки перегиба будем считать, что касательная к графику функции в рассматриваемой точке может быть параллельной оси 0y (т.е. ).

Пусть функция f(x): 1) имеет конечную вторую производную всюду в некоторой окрестности точки С, за исключением, быть может, самой точки С; 2) функция f(x) непрерывна в точке С; 3) график функции имеет касательную в точке М(с,f(с)) (может быть и параллельно оси 0y). Тогда, если существует окрестность точки С, в пределах которой имеет разные знаки слева и справа от точки С, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М(с,f(с)).

Замечание 2.

Рис. 1 Рис. 2

Пункт 2 в условии теоремы исключает случай, приведенный на рис. 1, а пункт 3 - на рис. 2 (слева от точки С график функции касается прямой х=С в точке М, а справа касания нет)

Пример. Найти точки перегиба графика функции .

Рис. 3

Так как , то в точке х=0 и график функции касается в точке (0,0) оси ОУ. и поэтому и , а в точке х=0 .

Отсюда следует, что точка (0,0) является точкой перегиба; слева от этой точки график функции имеет выпуклость вниз, а справа вверх.

1.5.15.8. Асимптоты графика функции

Определение 1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений равно  или .

Рис. 1

Пример. . Так как , то прямая х=0 - вертикальная асимптота графика функции . (см. рис. 1)

Определение 2. Пусть функция y=f(x) определена для всех x>a (x<a). Прямая Y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при х   (х  ), если функция f(x) представима в виде

.

Теорема. Для того, чтобы график функции y=f(x) имел при х  

(х ) наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

.

Доказательство. Необходимость. Пусть график функции y=f(x) имеет асимптоту, для определенности, при х  , т.е. f(x) может быть представлена в виде

Достаточность. Пусть существует , тогда f(x)kx=b+(x) и . Отсюда следует, что f(x)=kx+b+(x), где (x) - бесконечно малая функция при х  .

Замечание. Расположение графика относительно асимптоты при больших х определяется знаком разности =f(x)kxb

При х   аналогично

Расположение графика относительно вертикальных и наклонных асимптот позволяет проверить исследование функции на экстремум, а также на направление выпуклости графика.