- •Кафедра физики и высшей математики
- •Зуев ю.А.
- •Содержание
- •1. Предисловие.
- •2. Необходимые теоретические сведения.
- •2.1. События и вероятности.
- •2.2. Случайные величины
- •2.3. Предельные теоремы
- •2.4. Генеральная совокупность и выборка
- •2.5. Метод наименьших квадратов и уравнение регрессии.
- •Контрольные задачи
- •4. Правила выполнения контрольных работ.
- •Рекомендуемая литература
2.2. Случайные величины
Результатом опыта со случайным исходом может быть число. Так при бросании кости выпадает от 1 до 6 очков, т.е. с опытом связана случайная величина, принимающая с одинаковой вероятностью значения 1, 2, …, 6. С бросанием монеты также удобно связать случайную величину, принимающую с вероятностью значения 0 или 1. Если же монету подбросить n раз, то число выпадений герба является случайной величиной, принимающей значения от 0 до n.
Если случайная величина принимает значения т.е. конечное или счётное множество значений, то она называется дискретной случайной величиной. Закон распределения дискретной случайной величины задаётся вероятностями . При этом всегда Важнейшими дискретными случайными величинами (сл.вел.) являются:
бернуллиевская сл.вел., принимающая два значения 1 и 0,
, q (бросание монеты, не обязательно симметричной);
биномиальная сл.вел. принимающая значения 0,1,…,n,
, i=0,1,…,n (число выпадений орла в серии из n бросаний несимметричной монеты, когда вероятность выпадения орла равна р, решки- q=1-p, ).
пуассоновская сл.вел., принимающая значения 0,1,…,
, i=0,1,… (число телефонных звонков или щелчков счётчика Гейгера за некоторый промежуток времени, если среднее число звонков или щелчков за подобный промежуток равно ).
Наряду с дискретными встречаются и непрерывные сл.вел.. В
качестве примеров можно привести время, проведённое на остановке в ожидании автобуса, расстояние на которое прыгает спортсмен на соревнованиях по прыжкам в длину, ваш собственный вес, измеренный после лечебной диеты и т.д.
Для непрерывной сл.вел. имеет смысл говорить не о вероятности точного значения, а о вероятности того, что значение сл.вел. попадёт в некоторый интервал значений. Закон распределения непрерывной сл.вел. Х задаётся функцией плотности вероятности таким образом, что . При этом и
Важнейшими непрерывными распределениями являются равномерное на некотором отрезке распределение и нормальное распределение. При равномерном на распределении при и при В этом случае вероятность попадания в некоторый интервал равна отношению длины интервала к длине отрезка
Нормальное распределение задаётся двумя параметрами: своим средним значением и разбросом вокруг него . Его плотность выражается формулой . Как видно из формулы, плотность максимальна при х= и симметрично убывает в обе стороны от . Тот факт, что Х распределена по нормальному закону с параметрами , кратко записывают в виде Х~(,). Нормальное распределение (0,1) называется стандартным. Его плотность имеет вид .
Чтобы единым образом описывать дискретные и непрерывные сл.вел., для сл.вел. Х вводят функцию распределения . Для дискретной сл.вел.
Для непрерывной сл.вел.
Функция распределения- это неотрицательная функция, монотонно возрастающая от 0 до 1. Если Х- дискретная сл.вел., то - кусочнопостоянная функция со скачками в точках х1, х2, …, равными вероятностями этих значений. Например, для бернулиевской сл.вел.
Если Х- непрерывная сл.вел., то - непрерывная функция и
Для любой сл.вел. имеет место соотношение
Для решения широкого круга вопросов, связанных со сл.вел. нет необходимости точно знать закон распределения, достаточно некоторых его числовых характеристик. Наиболее информативными и часто используемыми такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание МХ- это средневзвешенное значение случайной величины Х. Для дискретной сл.вел. , для непрерывной сл.вел. при условии, что ряд или интеграл сходятся абсолютно.
Основные свойства математического ожидания;
М(сХ)=сМХ (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания);
М(Х+У)=МХ+МУ (математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий).
Дисперсия является мерой разброса сл.вел. вокруг среднего
значения. Если МХ=, то дисперсия DX есть DX=М(X-)2, при условии, что математическое ожидание существует. Используя свойства математического ожидания, легко получить эквивалентную формулу для дисперсии Дисперсия всегда неотрицательна. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим или стандартным отклонением и обозначается
Основные свойства дисперсии:
D(сХ)=с2DХ (при умножении сл.вел. на постоянный множитель дисперсия умножается на его квадрат);
если Х и У- независимые сл.вел., то D(Х+У)=DХ+DУ (дисперсия суммы независимых сл.вел. равна сумме дисперсий).
Пусть МХ=, DХ=2. Тогда, как следует из приведённых
свойств, для случайной величины У= справедливо МУ=0, DУ=1. Подобное линейное преобразование часто используется и называется приведением сл.вел. к стандартному виду.
Найдём математическое ожидание и дисперсию рассмотренных ранее распределений.
Пусть Х- бернуллиевская сл.вел. Тогда
Пусть Х- биномиальная сл.вел. Её можно рассматривать как сумму n независимых бернуллиевских сл.вл. Поэтому
Пусть Х- пуассоновская сл.вел. = Таким образом, и математическое ожидание, и дисперсия пуассоновского распределения равны .
Пусть Х- равномерно распределения на сл.вел. Тогда т.е. математическое ожидание совпадает с серединой отрезка .
Если Х- нормально распределённая сл.вел. с плотностью вероятности то МХ=, DX=2.